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　　主成分与因子分析是医用多元统计分析教学中的一个难点，笔者结合几年来教学中的一些体会，谈谈自己肤浅的见解，向学界前辈、同仁讨教。
　　主成分与因子分析的难点是概念抽象，计算复杂，很多名词也是第一次接触，如特征根、特征向量、因子负荷、旋转等。相应的教学对策就是要将抽象概念具体化，复杂计算简单化。
　　　　　　1　概念
　　主成分与因子分析中的概念比较抽象，难以理解。因此，教学中第一个碰到的问题是，什么是主成分？什么是因子？
　　主成分是对变量共性的提取。这句话可以通过下面的一个例子来说明。
　　设x[,1]，x[,2]的相关系数为r（不妨假设r≥0），可以理解为x[,1]，x[,2]的信息量均为1，总信息量为2，r是其共性部分。 两个主成分对应的特征根分别为：λ[,1]＝1＋r和λ[,2]＝1－r，即第一主成分包含的信息量为1＋r，第二主成分包含的信息量为1－r，总信息量仍为2。可见主成分是对信息量的再分配，且第一主成分包括的信息随两变量相关程度（共性）的增大而增大，当两变量完全相关时，λ[,1]＝2，λ[,2]＝1，即第一主成分包括的了x[,1]，x[,2]的全部信息；而当两变量无相关时，λ[,1]＝λ[,2]＝1，第一、二主成分包括x[,1]，x[,2]的信息各占一半。因此，当变量间的相关关系不明显时，作主成分分析意义不大。
　　因子分析基于这样的基本思想：根据相关性的大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性（共性）较高，而不同组的变量相关性较低。这样，从实际意义上说，每组代表一个方面（因子）；从统计学上来讲，每组代表了原协方差结构的一个基本结构。这句话可以通过下面的例子解释。
　　考察5个生理指标：收缩压（x[,1]），舒张压（x[,2]），心跳间隔（x[,3]），呼吸间隔（x[,4]），舌下温度（x[,5]）。从生理学的知识来看，这五个指标都是受植物神经支配的，植物神经又分为交感神经和副交感神经，因此，这5个指标有两个公共因子， 故可以用因子分析的模型去处理它：若用f[,1]和f[,2]分别表示交感神经和副交感神经，那么，可以想象，x[,1]，x[,2]，x[,3]，x[,4]，x[,5]可用f[,1]和f[,2]的线性函数来表示，再加上其他对这些x[,i]有影响的因子，用函数形式可表示为：
　　x[,i]＝l[,i1]f[,1]＋l[,i2]f[,2]＋u[,i] i＝1，2，3，4，5　　 （1）
　　因子分析的首要任务就是要估计因子负荷｛1[,i[,j]]｝和特殊方差｛u[,i] ｝，并对每个因子给出合理的解释，若难以找到合理的解释，需作一些变换。成功的因子分析就是要用尽量少的因子解释观察到的相关性，且每个因子都有一个合理的解释。
　　　　　　2　主成分与因子的关系
　　主成分是原变量的线性函数，是对原变量信息的综合，每个主成分就是一个综合指标，该综合指标可以具体估计出来，并可参与进一步的分析。
　　因子分析是寻找一些意义明确的综合指标（公因子），并以它们为框架，将原变量分解为共性部分和个性部分，从而洞察原变量间的联系与区别。而共性部分就是这些公因子的线性函数。综合指标的提取方法很多，主成分是其中的一种。因此，在讲解主成分与因子分析的关系时，可以解释为：主成分分析是因子分析中的一步，因子分析是主成分的一个应用和发展。
　　　　　　3　主成分的贡献
　　主成分的贡献是用主成分反应原变量方差的多少来衡量的。第i 个主成分对所有原变量的贡献为λ[,i]，而对第j个原变量X[,j]的贡献是λ[,i]与负荷系数a[2][,ij]的乘积。从而知道为什么称a[2][,ij]为负荷系数。讲解时可以结合图1来说明，对公因子的解释亦可仿此。
　　附图
　　图1　主成分对原变量的贡献图
　　　　　　4　因子旋转
　　当初始负荷不易解释时，应用中常常对负荷作正交变换，即旋转，以便能得到一个更简单的结构，便于因子的解释。最理想的是这样的负荷结构，每个变量只在一个因子上有较大的负荷，而在其余因子上的负荷比较小，至多是中等大小。
　　旋转是几何学上的名词，实际上，因子分析中的“旋转”是对变量信息的再一次分配。讲解时可作如下比喻：旋转的在原理很象调节显微镜的焦点，以便看清观察物的细微之处，它们的共同之处是不增加也不减少事物的信息量，只是通过适当的调整使事物的本来面目更清晰。
　　　　　　5　因子分析策略
　　因子分析总会遇到三个问题：其一，用什么方法提取因子；其二，每个因子的实际背景是什么：其三，需保留多少个因子。因子分析没有定式，并常伴有主观性，因此有人说因子分析仍然保留着一种艺术的气息，犹如艺术家雕刻一块石头，并没有千篇一律的做法。但实际应用时还是有一些经验可以借鉴。
　　（1）先采用主成分因子提取法，当因子的意义不是十分明确时，采用方差极大正交旋转，同时用因子得分探查离群值。
　　（2）再用极大似然法重复上述步骤。
　　（3）比较上述两法所得到的因子分析解，主要分析：（a）因子负荷能否按同种方式分组；（b ）两种方法所得的因子得分各为一个坐标轴作散点图，如果在一特定因子上两法所得因子负荷的一致的，则因子得分应密集在过原点的45°线附近，否则因子得分将偏离45°线，如果这种情况发生，常说明因子数选多了。
　　（4）另选一个因子个数m，重复上述（1）～（3），考察添加因子对解释的影响。
　　（5）若数据较多，可再从中随机抽取一部分（通常是1／3 以上）作因子分析，比较这一部分以及全部数据得到的因子分析解，以考察解的稳定性。这一作法与其他多因素分析法相同。
　　因子分析中最大的困难莫过于对因子的解释，如果公因子得不到切合实际的解释，也就失去了因子分析的意义。
　　　　　　6　应用
　　主成分分析本身往往并不是目的，而是达到目的的一种手段。因此，它多用在大型研究项目的某个中间环节中。例如，把它用在多元回归中，便产生了主成分回归，这种回归具有一些优良性质，可以克服原变量的多重共线性。另外，它还可以用于综合评价，聚类分析，判别分析等。如果能结合几个实例，则学生对主成分的理解将会更深刻。
　　　　　　7　举例
　　一个恰当的例子，可以使主成分和因子分析的教学变得简明易懂，再配合几个好的习题，通过上机练习，学生自己解释，可使其具有趣味性。下面的一个例子是值得推荐的。
　　实例Linden对二次大战以来的奥林匹克十项全能得分作了因子分析，共有160组数据，对每项运动得分施以标准化变换， 每项运动标准化后的得分服从或近似服从正态分布。从n＝160组数据算出的样本相关矩阵如下，试对样本相关系数矩阵做因子分析。

百米　　┌1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┐跳远　　│0.59 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 │铅球　　│0.35 0.42 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│跳高　　│0.34 0.51 0.38 1　　　　　　　　　　　　　　　　 │400米　 │0.63 0.49 0.19 0.29 1　　　　　　　　　　　　　　│百米跨栏│0.40 0.52 0.36 0.46 0.34 1　　　　　　　　　　　 │铁饼　　│0.28 0.31 0.73 0.27 0.17 0.32 1　　　　　　　　　│撑竿跳高│0.20 0.36 0.24 0.39 0.23 0.33 0.24 1　　　　　　 │标松　　│0.11 0.21 0.44 0.17 0.13 0.18 0.34 0.24 1　　　　│1500米　└-0.07 0.09 -0.08 0.18 0.39 0.00 -0.02 0.17 0.00 1┘

　　
　　用主成分法提取因子，因子负荷系数见表1。 从主成分法的观点看，应取m＝3或4。从后面的因子负荷的讨论可知，取m＝4较合适。 应用主成分法算出的因子分析的关量都列在表1中。

　　　　表1　奥林匹克资料的因子分析（主成分法）

	　　　 因子负荷　　　　　最大方差旋转因子负荷变量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　共同度	　F1　　　 F2　　　 F3　　　 F4百米　　 0.6905　　 0.2170　 -0.5203　 0.2060　　　　　 0.8370跳远　　 0.7885　　 0.1836　 -0.1926　-0.0925　　　　　 0.7012铅球　　 0.7019　　-0.5346　　0.0470　 0.1753　　　　　 0.8114跳高　　 0.6737　　 0.1340　　0.1388　-0.3959　　　　　 0.6478400米　　0.6197　　 0.5511　 -0.0838　 0.4187　　　　　 0.8701百米跨栏 0.6869　　 0.0421　 -0.1610　-0.3446　　　　　 0.6183铁饼　　 0.6212　　-0.5211　　0.1095　　02344　　　　　 0.7244撑竿跳高 0.5385　　 0.0870　　0.4109　-0.4396　　　　　 0.6596标枪　　 0.4341　　-0.4390　　0.3719　 0.2345　　　　　 0.57451500米　 0.1466　　 0.5961　　0.6581　 0.2787　　　　　　08876方差　　 3.7866　　 1.5173　　 1.114　 0.9134　　　　　 7.3317累计贡献 0.3787　　 0.5304　　0.6418　 0.7332变量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 共同度	　F1[*]　　 F2[*]　　 F3[*]　　F4[*]百米　　 0.8832　　 0.1358　　0.1580　-0.1162　　　　　 0.8370跳远　　 0.6034　　 0.1938　　0.5159　-0.0074　　　　　 0.7012铅球　　 0.2443　　 0.8245　　0.2231　-0.1487　　　　　 0.8114跳高　　 0.2383　　 0.1505　　0.7500　 0.0763　　　　　 0.6478400米　　0.7984　　　00740　　0.1027　 0.4654　　　　　 0.8701百米跨栏 0.4021　　 0.1530　　0.6356　 -0.711　　　　　 0.6183铁饼　　 0.1859　　 0.8135　　0.1472　-0.0796　　　　　 0.7244撑竿跳高-0.0368　　 0.1760　　0.7615　 0.2176　　　　　 0.6596标枪　　-0.0469　　 0.7350　　0.1095　 0.1415　　　　　 0.57451500米　 0.0477　　-0.0408　　0.1110　 0.8335　　　　　　08876方差　　 2.1334　　 2.0220　　1.9438　 1.2325　　　　　 7.3317累计贡献 0.2133　　 0.4155　　0.6099　 0.7332

　　在主成分解中，除了1500米长跑以外，所有项目在F[,1]上都有较大的正载荷，这个因子可称为一般运动能力，但是其余因子不能很容易地给出解释，因子F[,2]似乎是跑和投掷能力（臂力）的对比（contrast）：而因子F[,3]似乎是长跑耐力（1500米）和短跑速度（100米）的一个对比；因子F[,4]意义不明。
　　4个因子的主成分解释了大部分总样本方差（73％）， 虽然有一些特殊方差的估计比较大（如标枪、110米跨栏等）。 这说明这些项目与其他项目比起来，需要运动员具备一些特殊素质。
　　采用最大方差旋转，结果见表1。 旋转后各因子的意义就非常明确了：第一因子在100米、400米及跳远上有较大负荷，在100 米跨栏上有中等负荷，可称该因子为短跑速度因子；第二因子在铅球、铁饼、标枪上有较大的负荷，可称其为爆发性臂力因子；第三因子在跳高、撑杆跳高、100米跨栏上有较大负荷，在跳远上有中等负荷， 可称该因子为爆发性腿力因子；第四因子只在1500米长跑上有较大负荷，在400 米上有中等负荷，可称其为耐力因子。各因子的意义比较明确，且每个变量都只在一个因子上有较大的负荷，无明显的重复现象。
　　用极大似然法所得因子的意义与主成分因子相同，不赘。
　　肤浅见解，望能抛砖引玉
中国卫生统计F104统计学陈峰20002000南通医学院　226001 作者：中国卫生统计F104统计学陈峰20002000

网载 2013-09-10 20:49:42

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