學習數學的幾點體會

簡體傳統

　　一、学习数学的三点体会
　　大家都是数学老师，我也当过数学老师。我觉得，要想教好数学，就必须学习，不断地学习。如果老师对数学一知半解，肯定用什么教学法也教不好。所以，我们常说“要给学生一碗水，教师得有一桶水”。对于数学，我有这么几个感觉：
　　1.力量感。即感到数学很有力量。什么是力量呢？就是说你多学一二节课，就会感到你的能力发生了很大的变化。比方说，在小学里，那种很难的应用题，现在比较少，但是还有很多四则运算的应用题（即用算术法解答的应用题）。有的应用题，学生拿回去，自己不会，家长也不会，解起来很困难。到后来，学了代数，列个方程就可以解出来了。如果你不断学习，越学越觉得数学给人带来的力量简直是不可想象的。比如说读书，有两种书：一种书读过之后感觉作者写得好，想的和自己差不多。另一种书是：只要不看这本书，可能你一辈子也想不出这个方法、这种思想。数学书有很多都是后面这一种，为什么呢？因为其中的很多问题都是世界上许许多多爱动脑筋的人想了很久，终于有一个人想出来一种方法，把它解决了。这种方法是前人经过几百年才探索出来的，如果你学会了，那么你就在一节课里往前进了几百年。如果让你自己想，可能一辈子都想不出来。这种书有阳刚之美，也就是有特别的创造性。这种原创性的问题，我们在数学学习中、在数学教学时几乎每个星期都会遇到，而且自己在解题时，也会创造出新的东西来。所以，如果你在教学时也能带给学生一种力量感，经常让学生回忆昨天还不会的问题今天就会了，那么他对数学的看法就会不同了。
　　2.震撼感。就是有些事情，使人感到一种震撼——也就是说能让人感到：原来还有这样的事！我举个例子，伟大的科学家爱因斯坦在他的回忆录中这样描写道：我在12岁的时候，叔父给了我一本几何书，其中有一道题让我感到震撼。什么题呢？是这样一道题：一个三角形，作出它的三条高。完成之后，我发现这三条高居然定会交于一点！人们不仅能发现这个事实，而且还给出了证明！这个几何定理，使我从12岁开始便有了研究科学的梦想。后来，他果然实现了这个梦想。另外，还有些事情在历史上对人的思想是有震撼的。比如，勾股定理，中国人很早就发现了。但在西方，勾股定理是古希腊的毕达哥拉斯最先发现的，他不知道中国已经有人发现了，以为是他首先发现的。因此，他就认为这是上帝给他的启示，非常兴奋。据说他杀了500头牛，请全城的人来赴宴，庆祝这件事情。许多哲学家说，有一个直角三角形摆在那里好像就一目了然了，但有人忽然告诉你，你没有看清楚它里面的规律。这在哲学上是非常有启示意义的。这说明了数学给人带来的好处，让人觉得表面上不会有的事情，而它背后却隐藏着一定的规律。说到数，也有好多这样的事情。比方说，假定全班有50个学生，如果你问有没有两个人的生日是同一天的，几乎都是有的。为什么呢？用概率可以断定，这种情况发生的可能性在97%以上，而且可以马上算出来。有很多事情，好像是随机的，但它里面有很强的数学规律。再说简单一点，比方说乘法，用一个数不停地乘，乘上10000次会是什么样子呢？比如，13自乘 10000次（即

），我们可能知道它是很长的一个数，但是不知道它究竟有多长，是什么样子。有了计算机，马上就能将它的结果一位一位地罗列出来。这也是数学的力量。计算机的原理是数学家首先提出来的，在还没有电子管的时候，数学家就已经提出了电子计算机的模型，而这个理想又过了很多年，才在技术上得以实现。
　　3.解放感。刚开始学数学时，有一些清规戒律，不断往下学，这种清规戒律就不断地被打破，使人感到一次一次地得到解放。刚开始我们学习减法，5-3=2，3-5就不能做了。后来学了负数， 3-5、5-3就都可以做了。我们学习除法，6÷2= 3，6÷3=2，但6÷5得不出结果来。学了分数就很简单了，又解放了。之后又有开方，正数能开方，负数就不行。学了虚数以后，负数也能开方了。原来不能做的事情，后来能做了；原来不会的，现在会了；原来不许做的、违规的，后来解放了，不违规了。原来只能算数，后来还能算。a+b、b +a、

——符号了。符号不仅能代替数，还能代替运算。函数就是用符号代替运算，如f(x)，f就代表了可能很复杂的运算。我们还可以对函数微分，这样，符号还能对运算进行运算。由此你可以看到，数学里面无禁区，你只要想做的都可以做到，原来没有规定的，你可以规定；原来他是这样定义的，你那样定义可能会更好。所以说，我学数学最根本的体会就是力量感、震撼感、解放感。这些体会，我希望和老师们分享，也希望老师们能和学生分享。
　　二、对两个问题的看法
　　数学非常难，也非常枯燥。在这个方面我想了两个问题：1.怎样让数学变得更容易？2.怎样让数学更有趣？
　　第一个问题，怎样让数学变得更容易？以前的教材把乘法中的数分成乘数和被乘数，乘数写在后面，被乘数写在前面。比方说，有3个孩子，每个孩子2个苹果，求一共有几个苹果，必须写成 2×3，写成3×2就是错的。乘法交换律是个非常重要的思想。学生开始学乘法的时候，如果你告诉他3×2等于2×3，3个2或2个3无论写成3×2还是2×3都是可以的。这样学生的思想就解放了，就不会犯错。在这里，犯错是因为有规定。客观上2×3等于3×2，你规定它不错它就不错，何必由于这些规定让学生多犯错呢？我们最初辛辛苦苦地告诉学生2×3不能写成3×2，到后来又告诉学生2×3和3×2是一样的。我当时就写文章建议老师不要让学生区别2×3和3×2，而许多老师想不通，说这是算理。算理是根据定义来的，你定义时就可以规定2×3和3×2是一样的。学生学的时候，让他区别2×3和3×2，不能给他带来任何好处，将来还是要取消的。所以把它去掉就更容易了。现在的新教材已经把它去掉了，很好。因此，不要人为地制造难点。还有一个例子，强调带分数、真分数、假分数。分母大于分子的分数叫真分数，分母小于或等于分子的分数叫假分数，假分数可以写成带分数。这个内容老师至少要上一节课，到后来才发现这个东西没用，在科学技术上根本不怎么用带分数。在数学中，像这样可有可无、无伤大雅的东西，让学生花许多精力去学习是不太划算的。
　　还有一些是我们现在还在学的。30年来，我一直在思考这个问题：古人留下来的数学是不是最好的？是不是能让我们的学生学得很方便？比如说学英语，英语里面一月叫January，二月叫Fe buruary，三月叫March……一个月一个名字。这 12个单词，记的时候，一个小时也记不住，即使记住了很容易就又忘了。所以我就想，英国人非常怪，他们用Month表示月，用one、two、three……表示1、2、3……要是用Month one、Month two、Month　three……表示这12个月多简单呀，一分钟就学会了！语言是不好改的，而数学就不同了，数学里面也有类似的情况。本来很容易的问题，但是前人留下来的却变得难了。举个例子，我们现在都喜欢让学生探究。比如说，古往今来，小学数学中计算平行四边形的面积都是底乘高。但是，你有没有想过这个计算公式是怎么来的呢？如一个3厘米宽、4厘米长的矩形，可以分成12个边长为1厘米的正方形，所以它的面积就是12平方厘米。如果这个矩形是用木条钉成的我们不小心把它弄歪了，变成了平行四边形，那么它的面积就是12个边长为1厘米的菱形的面积的和。（这个例子，如果让五六年级的学生探讨，他们可能会得出非常深刻的结论）如果你能把1个单位菱形的面积算出来，那么整个平行四边形的面积就知道了。但是这1个单位菱形的面积是多少呢？显然，如果是这种情况（如图1），面积就很小；如果是这种情况（如图2），面积就会大到1平方厘米。这也就是说，这个小菱形的面积依赖于角A的大小，角A的大小不一样，面积也就不一样，这就是函数概念。显然，A=90°，面积就是1；A=0°或180°，面积就是0。那么角A是30°、40°、50°，该怎么求面积呢？当然这个问题小学生解决不了。我们知道，如果A=40°，这个单位菱形的面积就是 sin40°。小学生不知道这是什么意思，更不会计算。但只要你告诉他，计算器上有一个键，一按就知道了。这样一来，我们就带出来一个正弦函数的定义：对于边长为1的菱形，有一个角为A，我们就把它的面积叫做sinA。我们不知道它是多大，不妨先给它起个名字。这就好比小孩子刚生下来，他将来是当老师，还是当工人，我们不知道，但这并不妨碍我们给他起个名字，起了名字，我们就可以喊他了。同样地，不知道角为A的单位菱形的面积是多少，就先给它起个名字叫sinA。（我们可以看到，探讨的这个问题一下子走了多远，想了多深）于是，我们马上就可以知道sin0°=sinl80° =0,sin90°=1。那我们还知道什么呢？我们还知道如果两个角——角A和邻角B互补，那么sinA =sinB。这比初中学的还深刻。
　　

　　我刚说的这些，虽然是从一个问题的探讨中得出来的，但它的难度降低了，范围拓宽了，概念清楚了。虽然我们是从小学出发来讨论一个问题，但难度降低大家都看得见，我就这么把平行四边形分块一说，正弦的定义就有了。按照传统教材上的定义，要先学全等，再学相似，学了相似才知道直角三角形中对边与斜边的比与角有关，与边的长短无关，才能得出正弦定义来。范围拓宽了——原来这个定义指的是锐角的正弦，初中学了三年还不知道钝角的正弦的定义，现在一下子就知道了。一个钝角和一个锐角互补的话，它们的正弦值就一样。概念清楚了——原来这个定义很晚才学，学了很多理论，但是有的概念还不清楚。按照传统教材上的定义，正弦是在直角三角形中锐角的对边与斜边的比，因此对于sin90°就没有定义了。那怎么办呢？老师就告诉学生：把一个锐角慢慢变大，逐渐接近90°，用极限的概念才能把 sin90°说清楚。现在简单了，sin90°就是边长为1的正方形的面积。所以概念清楚了。我们从一个简单的问题讨论下来，引出了这么多深刻的结论。
　　更进一步，如果学生知道了用符号代替数，我们看看还能得到什么，还能走多远。由我刚才引进的这个定义可知，平行四边形的面积就等于相邻两条边的乘积再乘以它们的夹角的正弦。那么三角形面积就等于

。有了三角形面积公式，在直角三角形中，我们用不同的方法计算面积就可以得到：

，这又回到了传统教材上的定义。如果再往前走的话，对任意三角形，其面积

，从而推出了正弦定理，这是现在高中才学到的。有了正弦定理，理解三角形就有了重要的工具。
　　

　　图3
　　实际上，从小学里的一点知识，如果走对了，离高中的知识就不是很远了，很简单的几步，它就出来了。如果不用函数思想，以为不知道就算了。不知道，先给它起个名字，这就是数学的方法、数学的思想。给出一个函数，根据我们的定义往前走，很快就能得出深刻的结论来。其实，对于刚才我们讨论的问题，还有更深刻的结论。比方说，求一个三角形的面积，我们可以先把这个三角形分成两块来计算（如图3），然后加起来：

也就是 sin(90°-α)，这就是正弦和角公式。我在新疆教学的时候，就用这个办法很容易地证明了这个公式。有了这个公式之后，如果α=β=45°，我们就可以得到

；如果α=β=30°，我们就可以得到

，你就可以知道在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。这是个重要的几何定理。如果我们再往前走一步，在直角三角形ABC中，如果A+B=90°，那么sin(A+B)=sin(90°-B)sinA+sin(90°- A)sinB

，这就是勾股定理。勾股定理的证法很多，这是其中之一。这就叫兵不血刃，我们不画什么图，一开始就把一个三角形分成两部分来算一算，算着算着就得到了一个公式。再往这个公式里面代这个式子，代那个式子，就什么都出来了。我们刚才讲的几乎是原来初中里面一个学期的课，而且在初中，一步步非常难，需要这样证、那样证，而现在可以很容易地得到。因此我就想，古人留下来的三角函数的定义，他们没有定义好。就像January、February、 March……如果能把它定义成Month one、Month　two、Month three……的话，我们就可以学得更容易。
　　如果我们在小学的内容里去掉一些不必要的东西，在中学的内容里改变一些不好的定义，我们就可以把很难的东西变得容易，从原理上讲逻辑将变得更严密。如果按照这个思路，我们的课改会使学生学得更容易、更快乐，而且比原来学得更多。现在的教育理念，大多在讲教学的组织方法。如果我们再进一步，不但在方式方法上，如果还能在内容上再改进一步的话，可能会更好。这就要求小学要做好铺垫。怎么铺垫呢？小学里面要逐步渗透函数思想、符号思想，还有定义的思想。数学里面的概念、定义都是人给的，人规定的，人起的名字，比如你开始时不知道30°角的单位菱形的面积，就给它起个名字，我们就可以得出公式，有了公式就可以列方程，列了方程一解就知道了，这就是数学方法。
　　第二个问题，怎样让数学更有趣？数学往往是同一件事情，左说一句，右说一句，客观上却只有一件事情。比方说2+3=5，我们还可以说5- 3=2，5-2=3，一件事情三种说法。三角函数里面，

，sin(90°-A)=cosA，这里说的都是一回事。数学经常把同一件事情弄成好几种说法。既然是同一件事情，它们就有联系了。我们就研究它们之间的联系，哪种说法对我们最有利，我们就用哪种说法。在解决具体问题的时候，用不同的方法说同一个问题时就可以找寻最有利的方法，就可以使数学变得更有趣。另外，把代数的说法和几何的说法联系起来也能使数学变得更有趣。举了例子，5×5=25，4×6=24，25比 24多1；6×6=36，5×7=35，36比35又多了1。两个相同的数相乘得到一个数，然后把乘数一个减1，一个加1，相乘所得的结果就比原来的答案少1。这个结论在数学上还有更深刻的意义。如果两个数之和不变，它们的乘积什么时候最大？这两个数相等的时候最大。如果一个加1，一个减 1，乘积就会变小。用代数表示就是(x+y)(x- y)=

，也就是这个道理。如果从几何上看这个问题，就会更有意思。将图4剪拼成图5后就可以得出(5+1)×4=(5+1)(5-1)=

。这说明，如果我们做实验，就会发现其中的规律。只要你能自圆其说，开始是有意义的，往后每一步也是有意义的，你就可以得到非常有趣的结论。数学有趣有两种：学生在一起讨论、活动，这本身就很有趣，另外数学自身也很有趣。还有个让数学有趣的方法呢，那就是使用计算机。把数学和信息技术结合起来，可以使数学变得更容易、更有趣。在开展数学活动时，有时为了做一件事件，不得不做一些没有趣味的、枯燥的事情。繁琐的计算、画图有时候很麻烦，而计算机就有可能使这些事情变得更有趣、更有创造性。
　　