>>>  古風悠悠—傳統政治與精神文明  >>>

簡體     傳統

---

　　在20世纪逻辑学家和数学家行列中哥德尔是一位具有传奇色彩的人物。他所作的三大数学贡献的每一项结果对数理逻辑各分支的发展都是决定性的。自1931年哥德尔不完全性定理之后，数学基础逐渐演变为数理逻辑各分支的精细研究，同30年代前人们都关心基础研究的状况形成对照，数理逻辑愈益成为少数数学家的专门技术领域。可以不夸张地讲，哥德尔使数理逻辑发生了革命，哥德尔规定了我们这个时代数学基础研究的思维内涵。然而，长期以来鲜为人知的事实是，哥德尔不仅是一位伟大的逻辑学家、数学家，还是一位深刻的哲学家。在整个学术生涯中，他只有1929—1942年主要从事数学和数理逻辑的研究，从1942年直到1978年逝世，除了继续集合论问题思考并倾注5年时间热衷于相对论外，几乎大部分时间致力于哲学研究。
　　哥德尔生前只发表过5篇哲学论文：《罗素的数理逻辑》（1944）、《纪念普林斯顿200周年数学问题会议评论》（1946）、 《什么是康托的连续统问题？》（1947）（1964年修订）、《关于相对论与唯心主义哲学之间关系的一点评论》（1949）、《论有穷主义观点迄今未予应用的一种扩充》（1958）（1972年修订），他的大部分思想表达在手稿、通信和私人谈话记录中。1981年哥德尔去世3年后， 他的妻子将其遗稿全部捐赠美国普林斯顿研究院。其中包括哥德尔未发表的论文手稿、演讲稿、授课讲义、各类札记和哥德尔自己编号的100多本笔记（注：哥德尔遗稿已由约翰·道森1984年完成编目，分为12类：①私人信件和科学通信；②商业信函和其他信件；③分专题记录的笔记本；④演讲稿和论文手稿；⑤札记和便笺；⑥其他书写模糊的草稿；⑦从小学到大学的学历材料；⑧法律和政治文件；⑨1930—1939年间的财务文件；⑩就医记录；①①照片；①②其他。）。当代最有影响的美国哲学家蒯因说：哥德尔手稿的发现堪称“哲学界一大新闻”，（注：奎因为Kurt G＠①del,Unpublished Philosophical　Essays所写的序言，1995，p.7.）它使世人得以更深刻地了解哥德尔在哲学领域的所思、所想、所为。目前《哥德尔全集》已出版1～3卷，其中1995年的第3卷中收录了他的几篇重要哲学手稿：《数学基础研究现状》（1933）、《关于数学基础的几个基本定理及其哲学推论》（1951）、《数学是语言的句法吗？》（1953/9）、《从哲学的观点看数学基础的现代发展》（1961）。这几篇手稿无疑提供了哥德尔思想研究珍贵的原始资料。
　　　　　　1《数学基础研究的现状》
　　在应邀为美国数学会1933年年会准备的报告稿《数学基础研究的现状》中，哥德尔首先指出，为数学建构基础的问题由两个不同的方面构成，其一是使数学家一直使用的证明方法归约为最小数目的公理和推理规则；其二是探求这些公理的某种合法性问题，例如，它们是否彼此一致、是否与经验事实一致。依哥德尔之见，第一方面的问题通过数学的“形式化”已经令人满意地部分获解，但第二方面问题的解决其“形势极端不能令人满意”。原因在于，如果像形式主义者那样，以纯形式的观点把数学仅仅看作符号游戏，当然不会产生问题，一旦问到符号的意义时就会面临一系列困难。它们大致归为三类：（1）对非构造性存在的看法；（2）对（任意类型的）类的一般看法；（3）选择公理问题。Kurt G＠①del，Collected Works（简记CW）Ⅲ,p.48.对此三个问题的考察哥德尔引出了他的柏拉图主义数学哲学立场。这种立场显然建立在对形式主义、直觉主义以及罗素无类论的批判基础之上。
　　直觉主义者认为，在无穷域中使用排中律导致非构造性存在证明，因此大可质疑。为了消除所有集合论悖论和语义悖论，1905年罗素通过摹状词理论，建立了无类论或分支类型论，并于1910年在与怀特海合着的《数学原理》中作了系统阐述。哥德尔认为“按照这一理论，类永远不能作为真实的对象存在，而且包含这个词项的命题只有被解释成一种形式语句、一种谈论其他事物的方式时才有意义”。因为罗素坚持“禁止恶性循环原则”：“总体不能包含只有通过这个总体，或者涉及，或者预设这个总体才能定义的成员”。数学中符合这一原则的定义称为直谓定义，违反这一原则的称为非直谓定义。
　　哥德尔指出，使用无穷域中的排中律不仅产生非构造性存在证明而且导致非直谓定义。这种定义预设了独立于我们的知识和定义而存在的所有性质的总体。如果承认这种预设，非直谓定义方法无可质疑，“刻画一个无穷总体中的特殊元素就像谈论一个城市中的最高建筑物一样无可非议”。（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）并且哥德尔断言，“如果把我们的公理解释成有意义的命题，必然预设一种类型的柏拉图主义，它不可能令任何批判的头脑感到满意”。（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）况且非直谓定义已经扩大到实数理论中“从未导致任何矛盾”。当然，“如果把性质和总体仅仅看成由定义生成的肯定包含恶性循环”。这里，哥德尔表达的数学柏拉图主义立场是鲜明的，如果把我们的公理解释成有意义的命题，承认非直谓定义，必定预设独立于我们而存在某个总体，就必然要不以人的意志为转移接受一种柏拉图主义。这里所谓“批判的头脑”显然是指布劳威尔和海丁等直觉主义者。仔细阅读1933年报告手稿，通篇都能感受到哥德尔以讥讽的口吻表达他对形式主义和直觉主义的批判。
　　哥德尔向来以数学中的柏拉图主义者着称。晚年曾声称从1925年起就是一个数学实在论者。但1933年以前的文献表明他的这种立场并未得以公开的系统阐发。克勒在《哥德尔与维也纳学派：柏拉图主义反对形式主义》中认为，哥德尔从30年代早期就持有坚定的柏拉图主义立场这一结论“没有证据支持”。马丁·戴维斯、菲弗曼、帕森斯都曾提出疑问，认为哥德尔30年代与他中晚年时期所表达的数学哲学立场不一致。（注：C.Parsons,1995,pp.49～50.S.Feferman,1986,见G＠①del,CWI,P.31,CWⅢ,P.40.）然而，就我们的考察表明，哥德尔在1933 年报告中首次给出“柏拉图主义”一词。如果将他30年代早期在某些特殊场合所表达的思想与40年代后公开阐明的观点和手稿中的立场联系起来看，这些怀疑是没有根据的。1933年报告可以看作他在30年代早期就已经采取坚定的数学柏拉图主义立场的明证。同时可以得出结论，从那时起到70年代，哥德尔的思想从未发生重大转折，其强硬的柏拉图主义立场可以说是一以贯之的。
　　　　　　2　《关于数学基础的几个基本定理及其哲学推论》
　　1951年12月6日在布朗大学召开的第25 届吉布斯纪念讲座上哥德尔作了《关于数学基础的几个基本定理及其哲学推论》的报告，着重阐明他的不完全性定理的哲学意蕴。依哥德尔之见，虽然20年过去了，不完全性定理的哲学意义并未获得充分讨论。
　　哥德尔首先表述了由定理揭示的他称之为“数学的不可完全性”（incompletability）或“不可穷尽性”（inexhaustability）的深刻本质：第一不完全性定理表明，无论选择什么样的良定义的公理和推理规则的系统，总存在该系统能够表达但由系统的公理和推理规则不能判定的丢番图问题。第二定理表明，对任何良定义的公理和推理规则的系统，如果假定这些公理和推理规则对于导出关于整数的有穷算术是充分的，那么断言该系统一致性的命题是不可证的。哥德尔的论证是，人们不可能建立一个一致的包括初等数论的形式系统并一致地声称，他认识到这个系统的公理和推理规则是正确的而且相信它囊括了全部数学。因为任何一个认为把握了公理和推理规则正确性的人必定承认也把握了它们的一致性，但由不完全性定理，这些公理的一致性在该系统中不可证。因此这个人就在承认他把握了在这个系统中不可证的某些东西的真理性，也就必然得出这个系统没有包括全部数学，即数学是不可完全的。（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）
　　哥德尔还考虑了某些人由不完全性定理可能得出如下错误推论：人类心智等价于一台有穷机器，而且还是一台不能完全理解它自身功能的机器。而他认为由不完全性定理，如下数学上的选言命题才是必然推论：或者在下述意义上数学是不可完全的：它的自明的公理不可能包含在有穷规则中，即人类心智无限超越任何机器；或者存在绝对不可判定的数论命题。（注：按照王浩的说法，哥德尔认为，希尔伯特反对第二选言支，声称“数学中没有不可知”是正确的，否则就意味着人的理性全然无理性，一方面提出理性不能解答的问题，一方面又断言只有理性才能解答这些问题。同时，晚年的哥德尔至少认为有理由接受第一选言支：人类心智胜过机器。对此可参见王浩，1974，pp，324～326和G＠①del，CWⅡ1972a.）与此相应的哲学推论是：或者人类心智的活动不可能归于大脑的活动，因为大脑的所有行为不过像一台由有穷多部件（即神经元和它们的连接）组成的有穷机器；或者数学不仅仅是我们的创造，数学对象和数学事实是独立于我们的精神活动和意愿而客观存在的。在哥德尔看来，承认第一点就将否定将人心等同于机器的生物机械主义；承认第二点我们“就必须接受由数学基础的现代发展获得支持的某种形式的柏拉图主义或数学实在论立场”。（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）当然，不排除两个选言支都真的情形。
　　随后哥德尔以数学的不可完全性为论据对数学中的唯名论，特别是“数学仅仅是我们的自由创造”和“数学是语法的约定”这两种观点进行批驳并且声称，如果对这里所讨论的概念进一步严格化之后，我们的结论应当是“柏拉图主义是唯一站得住脚的立场。”即“数学描述了一种非感性的实在，它的存在不依赖于人类心智的活动和意愿，它只能被人类心智所感知，而且这种感知恐怕还是不完全的”。Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）
　　哥德尔的吉布斯演讲对长期困扰人们的不完全性定理给出了他自己的哲学解释，指出了准确而深刻地理解定理哲学义蕴的本质之点，同时还借助数学的不可完全性这一全新的证据，通过对唯名论的批判提供了对于数学柏拉图主义立场的一种辩护，尽管他的结论表面看来是一种推论式的。
　　　　　　3　《数学是语言的句法吗？》
　　吉布斯演讲之后，哥德尔用了两年时间修改演讲稿，准备在《美国数学会通报》上发表，但修改的工作量很大，而且哥德尔发现很难清晰而确切地表达演讲中的断言，特别感到棘手的是对于数学中的语言约定论的批判。因此这一问题当时成了他最为关注的焦点，以至他终于放弃改写演讲稿，转而去写《数学是语言的句法吗？》一文。（注：Dawson，JW,Jr.1995,p.200.）
　　1953年，哥德尔再次应谢尔普之邀为《在世哲学家文库》中的《卡尔纳普哲学》卷撰稿。（注：哥德尔曾三次受谢尔普邀请为此文库中的《罗素》卷、《爱因斯坦》卷和《卡尔那普》卷撰稿。）谢尔普建议他以“卡尔纳普与数学本体论”为题写一篇25—40页的文章，但哥德尔表示只想写一篇“对数学本质的唯名论观点的评论”短文。1953—1959年他花费六年时间完成了“数学是语言的句法吗？”这一题目的六个版本。六篇誊写清晰的文章完整地保存在他的遗稿中。1995年《哥德尔全集》第三卷收录了其中的第三稿和第五稿，同年罗德里奇·孔塞格拉编辑的《哥德尔哲学手稿》收录了第四稿和第六稿。通读这几篇手稿可以看出，哥德尔的立场没有任何实质性变化，目的都是对于逻辑实证主义者，特别是汉斯·哈恩和卡尔纳普等人主张的数学的语言约定论给予深刻而严厉的批判。
　　“数学是语言的句法”是卡尔纳普以及维也纳学派对数学本质的一种概括。1930年前后，石里克、汉斯·哈恩和卡尔纳普极大地受到维特根斯坦的影响，形成了关于数学本体论中被哥德尔视为“唯名论和约定论相融合”的语言约定论观点。按照这种观点，如卡尔纳普所说，“数学是不含内容、不含对象的辅助语句系统”，数学命题不是对事件域中事件状态的描述，而完全可以归约为语言的句法，即数学定理的有效性仅由某些使用符号的语法约定的推论确定。事实上，卡尔纳普在1937年的《语言的逻辑句法》一书中就是试图实施把数学归约为语言句法的语法方案。
　　在第五版中，哥德尔把语言约定论归纳为如下三个基本论题：（1）逻辑和数学命题仅仅是支配符号规则的产物，数学直觉可由约定代替；（2）数学是不含内容的，不存在数学对象也不存在数学事实；（3）由于数学命题不含内容，关于他们的语言约定不可能被任何可能的经验证伪，因此数学的语言约定论与严格经验论一致。哥德尔以他强有力的三个论据：数学的不可完全性、数学内容和数学直觉的不可消除性以及数学与自然科学的可类比性（注：参见刘晓力的《哥德尔对逻辑实证主义的批判》，载于《自然辩证法研究》，1997－（1）。），对这些论题一一给以严厉的批驳，并且在第六版中宣称，“语言约定论立场的任何哲学断言都是站不住脚的”。
　　《数学是语言的句法吗？》历经六年数易其稿于1959年完成。2 月份哥德尔却突然致信谢尔普宣布不想发表他的文章了。信中陈述的理由是，第一，完稿之时已经过了卡尔纳普向作者作答的时间，如果没有卡尔纳普答复发表文章对大家都不公平，也难以向世人交代。第二，哥德尔指出，“我完成了这一题目的几个版本，但对哪一个都不满意。按照我自己的意愿作出严厉断言或强硬论证是不难的，但我发现这一题目与哲学的基本问题之一，概念及其关系的客观实在性问题密切相关，要想彻底阐明它比我料想的要困难，而且以普遍持有的偏见，发表目前只完成了一半的工作将弊大于利。”（注：Warren Goldfarb,Introductory note to * 1953/9, G＠①del,CWⅢ,p.324.）
　　哥德尔1924年入维也纳大学学习，1926年起参加维也纳小组活动，并且与小组领导人私人关系密切，因此长期以来哥德尔一直被看作维也纳学派成员，然而他从一开始就不赞成逻辑实证主义的观点也从未在公开场合表达过相反的见解，对当时的这一官方立场一直保持缄默。《数学是语言的句法吗？》这篇手稿无疑第一次提供了系统批判逻辑实证主义的有力论证，哥德尔自然预料到来自反对势力的压力，依其个性他并不想在生前引起大的争论，同时按照王浩的解释，他大概发现卡尔纳普的着作中有某种跟他本人层次不同、类型不同的准确性，难以设计一种令双方都满意的共同语言，使他自己的论证令对方心悦诚服，因此这篇论战性极强的文章直到1995年才与世人见面。
　　　　　　4　《从哲学的观点看现代数学的发展》
　　1961年4月哥德尔成为美国哲学会会员。 有理由断定《从哲学的观点看现代数学的发展》是为1963年会员大会准备的一篇（未作演讲的）演讲稿（注：Dagfinn fΦllesdal,Introductory note to * 1961, G＠①del,CWⅢ,p.364.）。演讲稿的目的是以哲学的观点评述20世纪数学基础研究的状况，并试图将其纳入一般哲学框架。
　　哥德尔首先把各种哲学流派依据它们与形而上学（或神学）的亲疏划分为左右两方，左方是怀疑论、唯物主义、经验主义、实证主义和悲观主义；右方是唯灵论、唯心主义、先验主义、神学和乐观主义。哥德尔显然赞同右倾立场。依他之见，自文艺复兴以来，哲学的发展不是从某一单线上而是整体上从右倾立场转向了左倾立场。“如果这种偏执的转向还没有使人感受到已经侵入数学观中真是一个奇迹。”哥德尔所指的这种偏执的转向无疑是指经验主义和实证主义倾向。在哥德尔看来，数学是一门先验科学，因此它总有与文艺复兴以来的时代精神，即数学中的经验主义、实证主义相背离的倾向；同时它虽然“深陷高度抽象之中”，但就目前而言其基础却具有从未有过的确定性，因此也远离怀疑论。哥德尔认为，20世纪初由集合论悖论引起的所谓“数学危机”显然被经验论者和怀疑论者夸大了，并且“拿来作为左倾膨胀的借口”，认为悖论的出现表明数学内部出现了矛盾。依哥德尔之见，“这些矛盾远离数学而更具哲学意义，同时任何一个了解数学的人都清楚地知道，我们已经以完全令人满意的方式解决了它们。（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）”
　　在演讲稿中，哥德尔更多的是指明，真理应当介乎左右倾之间或二者的有机结合。因为依老式的右倾哲学观，数学代表一种完全的真理体系，“它的每一个精确表述的是或否的问题必定有一个确切答案”。然而由不完全性定理，这一真理体系不可能诉诸公理集和形式推理规则获得其完全性。同时，按照流行的左倾哲学观，作为出发点的数学公理的真理性不可能由经验证实，因而由它们所得出的结论只具有假说的意义，这种推理只能看成是按照某种规则所作的一种符号游戏。但是由不完全性定理，不借助抽象概念仅仅使用处理符号组合的工具不可能实施数学系统一致性的证明。因此哥德尔主张，不能无视现代数学的新进展盲目背弃信仰去迎合时代潮流，而应当一方面坚持数学知识的确定性，一方面坚信理性提出的问题理性自身能够清晰地予以解答。因此“正确的观点对我来讲似乎应当是，真理位于左右倾哲学观之间或者是二者的结合。”这种结合意味着数学的确定性不能仅仅借助经验证实或演绎证明获得，而要通过加深理解抽象概念，通过清晰阐释抽象概念的意义实现。出乎意料的是，哥德尔认为，“目前有一种科学的清晰阐释这种意义的系统方法，这就是胡塞尔的现象学方法，”G＠①del，CWⅢ，p.383.据王浩和Dagfinn FΦllesdal，哥德尔自1959年开始研究胡塞尔达10年之久，并拥有胡塞尔所有的重要着作。在1961年这篇演讲稿中哥德尔花费大量笔墨对胡塞尔的工作给以高度评价，主张借助现象学方法对我们所需要的抽象数学概念进行分析并发展我们的数学直觉，超越数学形式系统的局限去发现越来越多自明的新公理，以解决数学中每一个清晰提出的问题。
　　　　　　5　数学是不可完全的
　　哥德尔的几篇哲学手稿中明显贯穿着一条主线，借助由不完全性定理揭示的数学不可完全性的深刻本质，通过对当时占统治地位的几大数学观：逻辑主义、形式主义、直觉主义和逻辑实证主义的批判性反思进一步阐述自己的数学哲学立场，并以全新的证据为柏拉图主义数学观提供系统辩护。在这一过程中也表达了他的理性主义和客观唯心主义的一般哲学观。（注：晚年哥德尔在与王浩的谈话中，将自己的哲学观概括为“理性主义的、唯心主义的、乐观主义的和神学的”。Wang Hao，1995.）
　　哥德尔一生最为关注的三大数学问题是，数学的不可完全性；数学形式系统的一致性和一致性证明；寻求解决数学基础核心问题的集合论公理。后两个问题事实上与第一个问题密切相关。正如他自己所言：“我的所有元数学结果都是围绕数学的不可完全性或称数学的不可穷尽性问题展开的，”（注：Godel,CWⅢ,p.49～50、50.308～309、308～312、322～323、376～379、305.）而且每一项结果之后都伴有长时间深刻的哲学反思。一方面，正如我们在手稿中所见，柏拉图主义数学观被他视作这些数学结果的哲学推论；另一方面在致王浩的信以及同王浩晚年的谈话中又指出，这种数学观是他建立一系列数学结果的决定性助探原则；同时在多种场合他还强调，柏拉图主义数学观可以从以上两点获得证据支持。（注：对此可参见 Wang Hao，A Logical Journey:From G＠①del To Philosophy，The MIT Press即将出版.）因此，哥德尔对数学的不可完全性本质所作的深刻而独立的反思是我们理解哥德尔数学哲学思想的一条基本线索。
　　结合生前发表的哲学论文中的思想可以看出，20年代后期哥德尔就已经持有数学实在论立场，1933年首次表示赞成柏拉图主义数学观，1944年和1947年借评价罗素数理逻辑的机会并通过连续统假设这一具体问题以数学实在论的术语系统阐述这种数学观，声明不仅在数和集合的基本层次上承认数学实在论，而且将这种实在论拓展到类和概念上，坚信存在一个客观的与物理世界相分离的抽象概念的世界，主张对这些概念的理解应更多的诉诸直觉。早在1929年哥德尔就已经意识到，由于数学的不可穷尽性，为了克服数学形式系统在表达力和判定力两方面的局限“必须不断从直觉之泉汲取养分”。（注：哥德尔与卡尔纳普1929年的谈话，见Wang Hao 1987，p.51.）在1944、1958和1964年的几篇文章中他对数学直觉问题作了深入分析，同时指出，为了把握高度超穷的客观数学真理和抽象数学概念，必须摈弃康德的先天直觉和布劳维尔的构造性直觉而接受等级越来越高的抽象数学直觉，这种直觉在数学中有着不可替代的认识论作用。
　　哥德尔的数学哲学在他的整个哲学中占据核心位置，也是其中阐述最为系统且内涵丰富的部分。如果说哥德尔公开发表的论文主要集中于阐述自己的数学哲学立场，手稿则更侧重在哲学争论中从一个全新的视角，特别是从数学的不可完全性的本质出发对这种立场提供强有力的辩护，虽然这种辩护并未达到令他自己满意的程度。这恐怕也是他生前未发表这些手稿的真正原因。以上几篇哲学手稿无疑提供了理解他的整个哲学思想全新的视界和更为广阔的理论背景，也使我们通过了解哥德尔在哲学争论中所持仗的理论依据进入其思想的更深层次。近年来，哥德尔研究日益受到西方学界的关注，随着各类手稿的陆续公布我们相信哥德尔思想潜在的哲学价值和科学价值将获得更深入的研究。
自然辩证法研究京21～25B2科学技术哲学刘晓力19981998数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理揭示的深刻的数学本质。由此引发的哲学反思是哥德尔建立柏拉图主义数学哲学的坚实基础，同时在各种哲学争论中哥德尔都以这一哲学义蕴空前深刻的数学结果为自己的立场辩护。本文从数学的不可完全性的全新视角，对1995年公布的哥德尔的几篇重要哲学手稿进行评述，力图说明其数学柏拉图主义立场是一以贯之的。刘晓力，女，1954年生，哲学博士，内蒙古大学哲学系副教授。·邮编：呼和浩特　010021 作者：自然辩证法研究京21～25B2科学技术哲学刘晓力19981998数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理揭示的深刻的数学本质。由此引发的哲学反思是哥德尔建立柏拉图主义数学哲学的坚实基础，同时在各种哲学争论中哥德尔都以这一哲学义蕴空前深刻的数学结果为自己的立场辩护。本文从数学的不可完全性的全新视角，对1995年公布的哥德尔的几篇重要哲学手稿进行评述，力图说明其数学柏拉图主义立场是一以贯之的。

网载 2013-09-10 21:20:01

驗證：