揭秘矩阵

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在带状矩阵中,所有的非零项集中在对角线上。

  在电子工程以及计算机科学使用的常见工具中,有一种被称为矩阵的数字组成的网格。矩阵中的数字能够用来表示数据:例如,矩阵的行可以被用来表示温度、气压与湿度。而列就能用来表示在不同地点测得的这三项数据。然而,矩阵也同样能够用来表示数学方程。假设表达式t+2p+3h与4t+5p+6h描述了两个不同的包含了温度,气压与湿度测量值的数学变换,它们就能被表示成一个包括[1,2,3]与[4,5,6]两行的矩阵。两个矩阵相乘意味着对每一列进行这两个变换并把结果输入到一个新的矩阵中去。在许多时间精度要求较高的工程应用中,利用矩阵相乘能够给复杂得多的计算提供既快又好的估计。

  在一篇发表在7月13日的国家科学院院刊的论文中,麻省理工学院数学教授Gilbert Strang描述了一种新的把某种特定类型矩阵分解成几个简单矩阵的方式。这项成果可能对影音处理软件有所启示,可能对挤压数字文件以使其占更小空间的压缩软件有所启示,甚至能对操纵机械设备的系统提供帮助。

  Strang的分析被应用于所谓的带状矩阵上;带状矩阵的绝大多数项都是0;唯一的例外是矩阵中心或靠近矩阵中心的对角带。这看起来或许像是个难以理解的性质,但却常常具有实际意义。例如,在一些影音处理的应用中,带状矩阵的每一条带可以被用来表示一个时间片段的信号。通过分析信号的局部特性,应用程序就可以增强影像或者找出并删除多余的信息来节省内存或带宽。

  反过来求

  由于带状矩阵中几乎所有的,也许百分之九十九的,项都是0。用别的矩阵去乘它就成了一个非常高效的过程。然而当一个信号经过了处理之后,它仍不得不被重新变换回它原始的形式。这就需要乘以处理它时使用的带状矩阵的“逆矩阵”:如果A乘上B等于C,那么C乘上B的“逆矩阵”就会得出A。

  然而事实上,一个矩阵是带状的并不意味着它的逆矩阵也是带状的,事实上,Strang说,几乎所有的带状矩阵的逆阵都是“满”的,意即几乎所有的项都是非零的。在信号处理应用程序中,如果恢复信号需要乘上一个“满”的矩阵,那么带状矩阵提供的所有的速度优势都将不复存在。因此,工程师们才对拥有带状逆阵的带状矩阵感兴趣,然而那些是什么样的矩阵却并非显而易见。

  在他的科学院院刊的那篇论文中,Strang描述了一种新的把带状矩阵分解成几个简单的,有更少条带的矩阵的方法。判断这些简单矩阵是否有带状逆阵要更容易,而如果它们有,那他们组合起来也会有。Strang的方法因此能够让工程师们确定一些有前景的信号处理技术是否切实可行。

  比傅里叶更快?

  最常见的数字信号处理技术之一是离散傅立叶变换(DFT),它把一个信号分解成它的组成频率,并表示成一个矩阵。尽管傅里叶变换的矩阵是“满”的,Strang说,但傅里叶变换伟大之处在于,即使它是满的,却恰好仍旧能够快速地做乘法或取逆。那是傅里叶变换美妙的部分,但对于某些信号处理应用来说,带状矩阵可以比傅里叶变换更加高效。如果我们只对信号的一部分感兴趣,带状矩阵提供了一种集中注意力在它们身上,并忽略其余部分的方法。“傅里叶变换一次性地考察整个信号,”Strang说。“这并不总是很好的事情,因为往往信号在百分之九十九的时间里是很无聊的。”

  Richard Brualdi,威斯康星大学麦迪逊分校的名誉数学教授指出,Strang在论文中呈现的数学假设已经被其它三组研究团体证明了。“这是一个非常有趣的定理,”Brualdi说。“并已经产生了好几篇论文,并且可能还会有更多。”Brualdi指出,庞大的数据集,如通过基因测序,医疗成像或天气监测生成的那些,往往会产生常规结构的矩阵。带状是一种结构,但还有其他的,Brualdi希望数学家们把像Strang一样的方法用到其它结构类型的矩阵中去。“不过这么做是否会起到效果,我却真的不知道。”Brualdi说。“不过Gil(指Gilbert Strang)已经说过他会在未来的一篇论文中考察一种新的结构。”


译言 2015-05-19 00:34:21

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