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　　中图分类号：O1－0 文献标识码：A 文章编号：1000 －2804 （2001）01－0062－06
　　思维方式与科学实践活动相伴而行。一方面，科学实践活动是科学思维方式的最终源泉和动力，它为科学思维方式提供营养，从而促进某种思维方式的形成。另一方面，某种思维方式一旦形成，又会作用于科学，影响以后科学的发展。中国古代数学是在中国古代文化的土壤中生长出来的，是中国传统文化的一个有机组成部分，其思维方式和理论特征是与整个传统文化一脉相承的。《周易》这部古老的典籍，作为中国传统文化的母基，流传近三千年，长期以来，成为古代知识分子用来观察和解释世界的理论依据，在中国古人的精神空间中占据了举足轻重的地位，其特殊的思维方式直接影响着中国古代数学的思维方式，各种类型的神秘主义思想以其强大的精神力量深刻地支配着中国古代数学哲学的形成和走向，对数学的发展起着决定性的作用。下面试图通过对《周易》的思维指向和思维形式的初步考察，阐述它对中国古代数学思维形式的影响，进一步揭示数学问题的“李约瑟之谜”。
　　《周易》理论的基石是象。所谓象是指：（1）具体的物象。 即自然界存在的各种可为人感知的事物现象；（2）意象。 即从事物现象中提取出来的，代表一类事理的符号或表象。如《易传》在解释象时说：“圣人有以见天下之赜，拟诸其形容，而象其物宜，是故谓之象。”“象也者，像也。”《周易》认为，因为象是“远取诸物，近取诸身”的结果，所以其中“有天道、有地道、有人道”，能够“通神明之德”、“类万物之情”，也就是说，通过对象的推演可以把握认识事物的规律。这种以“德”和“情”为桥梁，将万物之中之同类者相互联系的方法，就是《周易》通过象来认识和推测事物的思想基础。这种思想实际上是强调任何事物只要具有同类的“情”和“德”，就具有共同的类别归属，换言之，任何“德”、“情”相通的事物，都反映同样的规律，具有较为密切的联系和影响。这就是《周易》的基本思维特征。
　　 一、《周易》思维方式上对中国古代数学思维的影响
　　首先，《周易》侧重于经验直观，不注重理论抽象。由此导引着中国古代数学从思维方式上把重点放在对经验的总结和对现象的描述上，不注重探究现象背后的原因，导致中国传统文化里缺乏推演的精神和逻辑的精神。易学在我国源远流长，几乎与我们中华民族的历史同时起步，从最早的文献记载看，最早记载伏羲画八卦的要算是战国时期的学者所着的《易传》了。《易传·系辞下》曰：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟盖之文，与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”。所谓包牺氏，就是伏羲。从这几句话中不难看到，伏羲创作八卦的主要途径是“仰观俯察”。观察是伏羲制作八卦的前提。观察是直觉反映，是对自然的认识，通过“仰观俯察”，“近取诸身”、“远取诸物”，实现“观物取象”，从而才能“始作八卦”。如前所述，《易传·系辞下》在谈到阴阳两种符号起源时说：“圣人有以见天下之赜，而拟诸其形容，象共物宜，是故谓之象。”“爻也者，效此者也，象也者，像此者也。”这充分说明了阳爻和阴爻这两种符号的产生是古代先祖在社会实践中，通过观察天地万物、人类自身并加以模拟的结果，正因为如此，中国古代数学绝大部分处于经验形态水平上，“许多数学着作以《周易》为张本，如刘徽《九章算术注》序中有：‘昔日包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。既于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然而两仪四象精微之气可得而效焉’。在秦九韶的《数书九章》一书中，‘蓍卦发微’成为数学课题之一。”（注：孙宏安.《周易》与中国古代数学［J］.自然辩证法研究，1991（5）.）
　　《周易》的这种思维方式还导致中国古代数学形成了推理和证明过程中的寓理于算、不证自明的直觉思维和非逻辑成分，以及思维方式的模糊性。典型的例子如：赵爽用勾股圆方图对勾股定理及若干勾股恒等式所作的论说，他仅用了短短五百字和六张附图，就“简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就。不但勾股定理和其他关于勾股弦的恒等式获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见。”（注：钱宝琮.中国数学史［M］.北京：科学出版社，1964.1.）刘徽借助于面积和体积的图解对开平方和开立方的说明，刘徽运用割补法对整勾股数公式的论证，祖＠①利用八分之一牟合方对球体公式的阐说，梅文鼎借鳖＠②而论球面三角形的边角关系，明安图创割圆密率捷法，运用几何方法对初等函数级数展开的研究。“还有《九章算术》全书只有问题和解法，而没有理论证明，书中有些结果还比较粗疏”（注：李迪. 中国数学史简编［M］.沈阳：辽宁人民出版社，1984.1.）。
　　此外，赵爽在注《周髀算经》时从一个正方形出发，不断分割出19个几何命题。这种研究方法显然是受了《周易》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的影响。中国古代几何的方圆术正是通过不断地分割拼补圆与方的图形而推导出丰富的几何内容的。将中国古代几何的方圆术与欧氏几何比较就可发现，欧氏几何在思想上源于西方的本体论，认为世界是由某种不可分的单位组成，那就是点，由点而生线，由线而生面，这是一种组合过程，在组合过程中不断产生新的图形。而中国古代几何则源于“天人合一”的儒家思想，由象征天地之形的圆方不断分裂，产生出新的图形，这也是一个分解过程，正是刘徽所谓：“然后两仪四象精徽之气可得而效焉”的具体体现。“天人合一”思想容易造成数学研究者的思维定势，使他们研究数学问题时，始终跳不出《周易》的思维模式。如宋代理学家朱熹曾从数学的角度研究过“大衍之数”，显示出相当的数学功底。但由于受到《周易》思维模式的影响，始终未能跳出“天地数”、“河洛数”、“天圆地方”等框框，绕来绕去得不到任何要领。最后只好无可奈何地说是“出于理势之自然，而非人之智力所能损益也。”（注：朱熹.周易本义·易学精华［M］.济南：齐鲁书社，1990.1075.）这种思维方式的不足之处还在于容易造成概念、命题、定义的模糊和混乱，使数学实践与数学理论不能很好地结合起来，容易使数学赖以发展成长的源泉枯竭。
　　其二，《周易》侧重于模式推理而不注重命题推理，导致中国古代数学思维模式缺乏必要的抽象，难以形成一种研究数学的有效思维方式。即中国古代数学中求“理”的方法，只有归纳法而缺乏推演法。所谓命题推理，就是从一个初始命题出发，按照一定的形式规则，推出一些新的命题，这种推理明确而严密，西方哲学家和科学家都普遍使用这种推理形式建构自己的理论。所谓模式推理，就是从一种基本模式出发，按照一定的原则，把有关对象放在这一模式中进行推理。《周易》64卦，就是64个推导模式。从卦象上来看，每一卦都是由两个三爻画的八卦重叠而成，这表明两个事物产生了相互联系，它们已不是孤立的东西了，从卦与卦之间的联系去看，卦与卦之间的联系具有“二二相耦”、“非复即变”的特点。“二二相耦”，即指明了以相邻的两卦两两为一组，形成32个小组，这是64卦卦序的突出特征。这一特征表明了卦与卦之间的联系。再从64卦每一卦体的自身结构去看，反映事物运动变化，不仅从卦与卦之间的联系去展开，而且也从爻与爻之间的联系去展开。这种关系把整个64卦符号系统构造得更加精微复杂，它们既为人们提供了具有独特传统风格的理论依据，也为人们规定了必要的推理原则。受这种思维方式的影响，在中国传统文化中，数学的价值观念则是技艺实用而非理性思辩。“中国古代数学的经典着作，是一些具体的实际问题及计算答案的分类和概括。相比之下，数学研究过程或者说数学推理却受到了极端的轻视，中国古代最辉煌的数学着作《九章算术》对246个数学问题的研究，极其准确地反映了这种现象。”（注：固原师专数学系青年教师讨论组.近代数学为什么没有在中国产生［J］.固原师专学报（自然科学版），1993.）为什么这么说呢？这还得从数学与模式的关系说起， 我们知道， 许多现代数学家都倾向于承认数学是研究模式（Patterns）的科学，关于模式的原始概念可追溯到古代的柏拉图，它泛指反映事物关系（包括空间形式与数量关系）的纯粹形式结构。这种纯粹形式结构必须是科学抽象的产物，所以理应具有概念上的精确性、简易性、逻辑可演绎性与普适性。例如，自然数列｛1，2，3，…，n，…｝是反映离散事物顺序计数的数学模式，微积分学是反映变量计算规律的一个大型数学模式。当然，数学中的每条公理、定理、公式、典型的计算方法或程序，以至成型的推理法则（如数学归纳法、超穷归纳法以及康托尔—希尔伯特对角线论证法等），也都是或大或小的数学模式。
　　 欧洲一位数学大师有句名言：“数学以简单性为目标”（Matheamtics is for simplicity）。可是， 数学模式的简易性要求正是由概念方法上的统一性与概括性（普遍性）来体现的，而这又必须通过抽象过程来实现。换句话说，抽象是达到数学模式简易性目标的必要手段和过程。受《周易》思维形式的影响，我国古代数学重视模式而缺乏必要的抽象，没有形成研究数学理论的普遍方法论原则。
　　 二、《周易》从思维指向对中国古代数学思维的影响
　　首先，《周易》注重事物的运动变化，不注重事物的静态结构，它导引着中国古代数学的整体思维。《周易》认为万物变化的根源在于阴阳对立面的相互作用，即“刚柔相推以生变化”。有矛盾有变化才是吉利，无矛盾无变化则不吉利。《周易》讲变化，但矛盾的对立面各自的性质是不变的，阳的属性是刚动，阴的属性是柔静。一切事物都具有阴阳两种性质，因此，世界万物都不外动静两种状态。阴阳交感，相摩相荡，一静一动。动到了极点就要静，静到了极点就变动，动静是循环的，故朱熹说“动静无端，阴阳无始”。它认为阴阳的主从关系不能改变。虽然承认事物都在变动，但又认为静是根本。只有动静交替才能产生万物，没有静也就没有动。《周易·系辞上》曰：“《易》，无思也、无为也、寂然不动”。运动变化终归以不变为基础，这是《周易》形而上学的特色。“万物皆数”是中国古代数学的一个重要组成部分，几乎所有的数学家及数学着作都持这种观点。《孙子算经》中说：“夫算者，天地之经纬，群星之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。”宇宙间的一切都可以用数算出来，可见万物都与数相关联。唐代数学家王孝通认为：“九畴载叙，纪法着于彝伦；六艺成功，数术参与选化。夫为君上者司牧黔首，有神道而设教，采能事而经纶，尽性穷源莫重于算。”天文学上，我国古人编制了比同时代其它国家先进得多的历法，提出了西方近代才产生的宇宙演化的先进思想，但对宇宙结构的认识却一直停留在汉代的水平上，一直没有建立起宇宙的几何模型。
　　其次，《周易》注重事物的功能和万物的相互联系，而不注重事物的实体和构成元素。它导引着中国古代数学独特的辩证性思维。阴阳是中国古代辩证法的一对基本范畴，也是贯穿《周易》哲学的一条主线，《周易》哲学的重要概念、范畴、命题，以至整个体系都是以阴阳这对最基本的范畴为基础而展开的，《周易》认为世界万物均有阴阳两种属性，阳代表正面、光明、在上、刚健、尊贵、……，阴代表反面、黑暗、在下、柔顺、卑贱。因此天为阳、地为阴，暑为阳、寒为阴，白昼为阳、黑夜为阴，山为阳、谷为阴，……世界万物无不可用阴阳来表示属性。以这种理论为指导来考察自然，就是要探索各种事物的功能属性，而对这种功能属性的承载实体却不予探索或刻意去探索。事物的功能性，是与其它事物相互联系中展现出来的，尤其是与人的联系中展现出来。这就不可避免地促进中国古代数学只注重实用性、计算性、算法化以及注重模型化方法的特点，中算家以构造精致的算法为己任。通过切实可行的手段把实际问题化归为一类数学模型，然后应用一套机械化（或程序化）的算法求出具体的数值解，中国古代数学中的一些基础概念往往由一个可操作的算法导出，就实数域的界说而言，分数是“实如法而一，不满法者，以法命之”（除法）；小数是“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母……”（除法与开方）（注：李继闵. 刘徽关于无理数的论述［J］.西北大学学报（自然科学版），1988（1）.）把数学作为“六艺”之一引入教育内容，而不去对对象本身作抽象的、纯理论的研究，不讲究数学的逻辑体系，很少提到思辩性的要求，这样，数学理论不可能上升至纯知识领域，作为研究抽象理论所不可缺少的普遍方法和原则极少，实用主义成了中国古代数学发展的主要动力。
　　在中国古代数学发展的漫长历史中，应用始终是数学的主题，而且中国古代数学的应用领域十分广泛，从土地丈量、容积计算、兑率研究、工程施工等具体的实际问题，并不断进行改进。着名的十大算经清楚地表明了这一点，同时也表明“实用性”又是中国古代数学合理性的衡量标准。
　　再次，从足以影响和促成中国古代数学思想的传统文化和哲学观念来看，在中国古代数学思想的滋生养成过程中，传统文化和哲学观念的力量是显而易见的。受《周易》以及儒家哲学的影响，倡导“重德性、轻知性”，“经世致用”的中国传统文化和实用哲学使中国传统数学囿于实用的圈子，“缺少了推演，缺少了实验，缺少了西方所发展出来的所谓Natural philosophy（自然哲学）”（注：杨振宁. 中国文化与科学［N］.参考消息，2000－03－08.）于是， 以解决实际问题的算法的制定，成为中国数学的根本，成为中国数学赖以存在和发展的基点。儒家的哲学对数学的介入是用数学来解释其观点，支撑其理论，如《周易》“八卦”的变演就是基于下列两种运算的反复：
　　（1）R[,1]＋R[,2]＝N，R[,1]－1≡r[,1]（mod4），R[,2]－1≡r[,2]（mod4）；
　　（2）N＝N－r[,1]－r[,1]－1；本质上是对数学的依赖。
　　中国古代的这种数学思维发展到13世纪，以“天元术”、“四元术”为代表达到顶峰，再向前就缺乏坚实的基础和动力。而作为数学文化传播工具的数学着作，在中国古代主要表现为后代学者对前贤作品的注解，这种对数学的叙述及传播，使得无视数学抽象性及一般研究方法的恶习，成为背叛数学本质的不自觉行为。
　　最后，《周易》问世之后，其数字化刻画世界图像的思想被不断地阐发，但其中混杂了许多唯心史观和“道”、“太极”等虚无缥缈和神秘莫测的东西，使我们从中领悟到中国古代自然哲学体系中强烈的巫术精神，感受到那种智慧与愚昧混合、科学与迷信缠绕的认识困境。“很明显，这种以虚构、假设、幻想、意念的形式所构筑的精神实体存在为起点，运用简单的数学规律及其推演所形成的理论体系，由于不具备科学方法所要求的基本条件，只可能是不真实的、主观臆断的和巫术化的。”（注：黄秦安.论中国古代数学的神秘文化色彩［J］. 陕西师范大学学报（哲社版），1999（3）.）因而，中国古代数学的思维形式带有强烈的神秘文化色彩。没有任何迹象表明在神秘的数学与科学的数学之间有怎样的联系和转换机制，两者之间巨大的断层使中国古代数学难以形成坚实的基础，由此留下了中国古代数学思想史一段长长的空白。在这种守旧与无创新、神话与神秘的氛围和境地中，中国古代数学只能沿着长久的实用主义道路艰难迈进，而成为一种应用数学，且这种应用数学受到了极大的束缚，使学生只习惯于公理系统思维方法，而对充满着创造力、想象力和开拓精神的算法构造思维方式却极不熟悉，也不习惯，这种恶习一直延续到了今天，这与西方数学对研究对象采取抽象和孤立的方法而使数学研究生机勃勃大踏步前进的局面形成了鲜明的对照。
　　 三、结语
　　综上所述，中国古代数学思维的许多特征均可以从《周易》中得到说明和揭示，《周易》对中国古代数学的思维产生了深刻的影响，它得益于数学，又对数学产生了巨大的影响，对中国古代数学家的世界观和方法论的形成产生了决定性的影响。从积极的方面讲，中国古代数学特殊的思维方式是中国古代数学取得举世瞩目成绩的重要原因，在现代科学的发展中发挥着巨大作用。从消极方面来讲，中国古代数学长期受控于《周易》模式，其思维方式与近代数学产生时所依赖的思维方式不合辙，不可能走出神秘主义所营造的迷宫，登上科学的殿堂而演化为近现代数学。笔者以为，这也是数学问题的“李约瑟之谜”的部分谜底。董光壁先生说：“在当代社会转向的关头，认真总结中国科学传统及其成就并探讨其现代意义，已是改进和发展现代文明之需要。”（注：董光壁.中国科学传统的成就及其现代意义［J］.自然辩证法研究，1998（11）.）我完全赞同董先生的这个观点。眼下的当务之急是我们应当实事求是地总结我国古代的科学思想，吸取精华，剔除糟粕。首先，中国传统数学思维要成为一种有效思维方式，需要同逻辑分析思维结合起来，以逻辑分析思维为基础，以辩证思维为主导。其次，中国传统数学思维要在数学研究中发挥应有的作用，必须形成一套系统的、可操作的方法，建立诸如欧几里得《几何原本》和牛顿《自然哲学的数学原理》那样的逻辑分析思维典范和辩证思维的新典范。第三，中国传统数学思维应从现代科学的理论和成就中汲取营养，把自身不合理成分加以改造，发展成为与现代数学相适应，并能推动现代数学发展的思维方式。
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　　 ＠①原字为日右加恒
　　 ＠②原字为月右加需
　　
　　
　　
兰州大学学报：社科版62～67B2科学技术哲学王汝发/陈建兰20012001从《周易》蕴含的思维特征和数学思想方法出发，论述了《周易》对中国古代数学思维方式的影响。从积极的方面讲，《周易》对中国古代数学特殊的思维方式的形成产生了巨大的影响，使古代数学研究者习惯于从整体性和辩证性等角度来思考问题，使中国古代数学取得了辉煌的成就。另一方面，由于《周易》思维方式的特殊性及其神秘主义色彩，导引着中国古代数学走上了与西方传统数学不同的发展道路。《周易》/古代数学/数学思维方式/近代数学　　 I Ching/ancient mathematics/mathematical thinkingstyle/modern mathematics收稿日期：1999－08－28.The Effect of the I Ching on the Anciant MathematicalThoughts　　WANG Ru-fa1 CHEN Jian-lan1　　(1. Gansu College of Politics and Law, Lanzhou, 730070;　　 2.Academy of Sciences, Gansu Province, Lanzhou, 730000,China)The present paper is a briefing on the effects of the IChing ( or the Book of Changes) on China's ancientmathematical thoughts. The I Ching contributed to theontological and dialectic thinking style of the ancientChinese mathematicians; meanwhile, it added to a mysticflavor which in time turns the Chinese mathematical studyonto a very different route from the western study.王汝发，甘肃政法学院 基础部，甘肃 兰州 730070　　陈建兰，甘肃省科学院 情报资料室，甘肃 兰州 730000　　王汝发（1957－），男，甘肃永登人，教授，从事数学哲学研究. 作者：兰州大学学报：社科版62～67B2科学技术哲学王汝发/陈建兰20012001从《周易》蕴含的思维特征和数学思想方法出发，论述了《周易》对中国古代数学思维方式的影响。从积极的方面讲，《周易》对中国古代数学特殊的思维方式的形成产生了巨大的影响，使古代数学研究者习惯于从整体性和辩证性等角度来思考问题，使中国古代数学取得了辉煌的成就。另一方面，由于《周易》思维方式的特殊性及其神秘主义色彩，导引着中国古代数学走上了与西方传统数学不同的发展道路。《周易》/古代数学/数学思维方式/近代数学　　 I Ching/ancient mathematics/mathematical thinkingstyle/modern mathematics收稿日期：1999－08－28.

网载 2013-09-10 21:17:40

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