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　　中国科学院院士、物理学家郝柏林教授认为，近二、三十年来数理科学基础研究的一个重要发展特征是“‘非’字当头（〔14〕）。其中讲到非线性问题，这是各门自然科学中出现的非线性问题的总称。非线性科学是研究非线性问题的共性的一门新的交叉学科。它已经揭示出大量新的现象、事实和规律，向哲学提出许多新问题。对这些问题的研究将使哲学得到丰富和发展。
　　　　　　一、什么是非线性科学
　　“线性”与“非线性”是一对数学名词。“线性”是指两个变量之间具有正比例的关系，它在笛卡尔坐标平面上表示为一条直线，线性由此得名。“非线性”是指两个变量之间没有象正比例那样的“直线”关系。
　　实际问题的解决需要建立数学模型，然后进行求解。数学模型一般表现为方程，而方程又有线性与非线性之别。描述复杂事物运动变化规律的数学方程都是非线性的，所以，科学家们把复杂现象叫做非线性现象，把研究复杂现象的科学叫做非线性科学。
　　客观事物是复杂的，但是，以前人们受到认识能力和认识手段的限制，总是把复杂事物加以简化，略去一些次要因素，或是把复杂系统分解为一些简单系统，以求得对问题的近似解决。科学家这种处理方法叫做线性化，即把非线性问题化为线性问题。
　　线性化方法虽然在以前的科学研究中取得了巨大成绩，推动了科学的发展，但是，当社会和科学的进一步发展，要求更全面、准确地反映客观事物的时候，就暴露出它的局限性。伽利略在研究单摆运动中，用自己的脉搏测量教堂挂灯摆动的时间，发现摆动的周期几乎与摆幅大小无关。从理论上讲，就是使摆回复到静止位置的力与摆的偏角成正比，即一种线性关系。但是，当提高测量时间的精确度后，却发现摆幅越大，摆动的周期越长，这就无法用线性方程来说明了。实际上，回复力与偏角之间已经是一种非正比（非线性）关系了。18世纪的英国经济学家马尔萨斯（1766—1834）于1798年发表《人口论》，他在影响人口增长的诸多因素（如增长率、食物供应量、自然灾害等）中只考虑人口的增长率，而舍弃其他因素，得到人口增长的线性数学模型，由此得出结论：人口是按几何级数增长的，而粮食是按算术级数增长的，也就是说，人口的增长快于生活资料的增长。所以他主张采取各种措施控制人口的繁殖。现在看来，马尔萨斯的结论过于简单，因为他忽略的因素太多了，不能准确地反映人口变化的正常规律。如果我们考虑一个地区或国家人口赖以生存的生活资料的有限性，那么人口增长的数学模型就变成非线性方程。这就是非线性科学中着名的逻辑斯蒂方程。
　　单摆和人口增长的例子说明，如果我们要更准确地认识客观事物的变化规律，就必须考虑更多的因素；而考虑的因素越多，数学模型也就越复杂，用科学语言讲就是非线性问题。人们用这一观点重新审视客观事物的运动变化，发现非线性现象比比皆是，所以有的科学家认为，“世界在本质上是非线性的”（〔17〕）。
　　各门科学中都存在着各自的非线性问题，研究这些非线性问题的共性，就形成一门新兴的交叉学科——非线性科学。经过将近半个世纪的研究，人们已经认识到非线性现象的三大普适类：混沌（chaos）、 分形（fractal）和孤立子（soliton）（〔17〕）。对这些普适类的研究已经构成非线性科学的三大理论前沿。
　　非线性科学具有重要的意义。它标志着人类对自然界的认识已经由线性现象进入非线性现象，必然对今后的科学发展产生重大影响。物理学家认为，混沌学的创立是物理学的第三次革命。郝柏林教授说：“混沌研究的进展，无疑是非线性科学最重要的成就之一。……这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击。这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。”（〔1〕， 校者前言）分形几何是自牛顿建立微积分以来数学中的又一次革命。（〔12〕，“译者的话”）有的物理学家认为，孤立子理论的发展预示着物理与数学的统一。1984年美国数学科学基金来源特别委员会给美国国家研究委员会的题为“美国数学的现在与未来”的报告中说：“目前正在发生一件振奋人心的大事，这就是数学与理论物理的重新统一”；“我们正在进入一个新的时代，在这个时代中数学和物理之间的界限实际上已经消失了”。（引自〔11〕，第33页）
　　　　　　二、非线性科学揭示出新的事实、特点和规律
　　非线性科学的创立是人们对客观事物认识的深化，它使我们的认识大大前进一步。事实上，非线性科学已经揭示出许多有别于线性问题的新的事实、特点和规律。例如：
　　　　1、确定性方程存在内在随机性——混沌
　　动力学是研究系统状态随时间变化的规律。这种规律可以用微分（或差分）方程来描述。一旦建立系统的运动方程，系统后一时刻的状态便决定于前一时刻的状态，它们彼此间的关系是确定的。这就是说，只要知道系统的运动方程和初始条件，就可以求出系统的运动轨道，从而也就知道系统在任何时刻的位置（或状态）。
　　1963年，美国气象学家洛伦兹发表《确定性的非周期流》一文，第一次明确地从确定性方程得到随机性的结果。洛伦兹的数值天气预报的方程是确定的、非线性的，但通过计算机数值计算时，发现当初始值出现微小误差时，方程的解却出现非周期振荡（随机性）。随后，埃农（Henon，1964）、若斯勒（Rossler，1976）等人得到类似结果。这些结果说明，非线性系统的方程虽然是确定的，但在一定条件下，却可以出现随机性现象。
　　洛伦兹发现的这种随机性不同于一般由外噪声引起的随机性（即外在随机性）。因为这种随机性既不是由于系统存在着的随机力或受环境外噪声的影响，也不是由于无穷多个自由度的相互作用而产生的，而是来自系统内部的，所以称为“内在随机性”。混沌学家把确定性系统内部出现的这种随机性叫做混沌。它表现为对初值的敏感依赖性，或不可预测性，这就像我们平常所说的“差之毫厘，失之千里”。
　　　　2、混沌序
　　混沌是确定论系统的内在随机性，就其随机性和不可预测性而言，它是无序的，即不具备周期性和其他明显对称特征。但是，混沌学又表明，它决不是简单的无序，在理想情况下，混沌状态具有无穷的内部结构，只要有足够精密的观察手段，就可以在混沌态之间发现周期或准周期运动，以及在更小的尺度上重复出现的混沌运动。就此而言，它又表现出一种有序态。更科学一点说，我们现在不仅知道通向混沌的几种道路，即倍周期分岔道路、阵发混沌道路和准周期运动道路，而且知道系统通过倍周期分岔进入混沌的两个普适性定律，即两个费根鲍姆常数。同时还知道，混沌区并不是一片混乱，而是呈现出一种有序的结构。例如，在由倍周期分岔通向混沌中，混沌区存在着从右到左的2[n]（n＝1，2，3…）个混沌带（称为倒分岔）；在混沌带中嵌套着许多不是混沌的周期窗口（即嵌在混沌带中的周期轨道，这些周期轨道也是自右向左排列的），这种嵌套并不是无序的，而是按照萨可夫斯基定理中的序列排序的。
　　因此，自然界除了有序和无序外，还存在着过渡性的第三种状态，它酷似无序而实则有序，郝柏林教授称之为“混沌序”。他说，“自然界中存在着有理序（周期性）、无理序（准周期性）和混沌序（内在随机性），而混沌序可能比前两者更‘高级’。”（〔15〕）
　　　　3、混沌是自然界的一种普遍运动形式
　　根据混沌学研究结果，耗散系统由于能量的耗散而使轨线在相空间中的相体积不断收缩，或者使不同初始条件所确定的轨线可能趋向于同一点集，从而形成奇怪吸引子。对于保守系统，它在相空间中的运动轨线不可能产生奇怪吸引子。那末，它是否会出现随机性而作不规则运动呢？本世纪五、六十年代，由前苏联数学家柯尔莫果洛夫提出，后经阿诺德（1963）和莫塞（1967）证明的KAM定理使人们认识到， 保守系统除了可以作规则运动之外，在一定条件下，也可能出现随机性而作混沌运动。
　　KAM定理的大意是：在不可积系统的哈密顿函数中，（1）如果扰动很小（此时系统称为近可积系统），（2 ）且扰动不含有与原来可积系统的运动发生简单共振的频率成份，那么不可积系统的运动仍限制在n维环面上。
　　混沌学家从不满足KAM定理的两个条件进行研究， 结果发现：当不满足条件（2），且系统的自由度大于2时，不可积系统将作混沌运动；当不满足条件（1）时，即加大扰动时，轨道在各KAM环面之间穿越运动，出现阿诺德扩散，这表明最后各KAM环面相接而遭破坏， 从而被这些环面分隔开的不规则运动层将融合在一起，以至最终将充满整个等能面，这就是混沌运动。这两种情况说明，保守系统，除了可积系统和满足KAM定理条件的近可积系统外，它的运动将是随机的混沌运动。
　　现在的问题是，在动力学系统中有多少是不可积的呢？德国数学家L.西格尔等人早40年代就作了回答：不可积系统多得不可胜数，而可积可解的力学系统却寥寥无几。这就是说，动力学系统作确定的、有规的运动是极其个别的，而绝大多数是作混沌运动的。所以，混沌学家说：“对于人类生活的现实世界来说，耗散系统的混沌比保守系统的混沌更为普遍，……可以说，如果深入地进行研究，除了理想的情况之外，每一种现实的运动都是混沌运动。”（〔19〕）由此可见，混沌是自然界里的普遍现象。
　　　　4、分形维数的非整数性
　　传统几何学研究的是规整的、光滑的图形，它是对自然形态的近似描述，其维数都是整数维的。例如，点是零维、线是1维、平面是2维、立体是3维。分形几何是研究自然物体形态的几何学， 它是直接研究未经抽象化和理想化的自然物的形态结构的。这种自然物体形态所表现出来的几何图形是不规整的、粗糙的、不可微的。分形几何的创立者曼德勃罗特于1975年拼造“分形”（fractal ）一词表征这类图形的形态特点。分形的一个重要特征是，它的维数一般是非整数（即分数）的，表示分形的复杂性和填满空间的程度。例如，海岸线的维数是1～1.3；路面的维数是2.25；人肺的维数是2.17；……这些新事实、新特点是以前从未遇到过的。
　　　　5、分形体具有局部与整体的自相似性
　　分形几何还揭示出，分形体具有另一个重要特点——局部与整体的自相似性。对于有规分形，这种自相似性表现为无穷嵌套或无穷自相似性，即不断放大微小部分，都可以发现部分（不管多么小）与整体的自相似性；对于无规分形，自相似性只存在于一定的范围内，或在一定的标度空间中才呈现出来。这是先前研究整形（相对于分形而言）几何学中从未见到的新情况、新特点。
　　　　6、分形图不能用传统数学方法描述， 但却能用简单的迭代法生成
　　分形图形从直观上看是不规整的、不光滑的，表现出自然物形态的复杂性，它无法用传统的数学方法来描述。例如，海岸线是一条分形曲线，它的长度，如果用传统数学方法——直线段来逼近曲线时，随着直线段的无限变小（或量尺的不断缩小），海岸线将变成无穷长。这说明传统数学方法无法描述象海岸线这类分形图。但是，我们却可以用简单的迭代法来生成。例如，我们可以应用迭代函数系统（IFS ）生成诸如植物、丛林、山川、烟云等复杂的自然景物。
　　以上只是说明，非线性科学确实揭示出一些以前研究线性问题中从未遇到过的新现象、新事实和新规律，需要哲学工作者去认真研究和概括，使哲学随着自然科学的发展而发展。
　　　　　　三、非线性科学的哲学问题
　　人类对自然界的认识已经由线性现象进入非线性现象，向哲学提出一些新的问题，甚至是挑战性的问题。对这些问题的研究，必将促进哲学的发展。
　　　　1、混沌对拉普拉斯决定论的冲击
　　法国数学家兼天文学家拉普拉斯（1749—1827）看到，牛顿力学不仅把天上和地上的物体运动都统一在牛顿力学原理中，而且根据这一原理数学地推导出其他自然现象。因此，他作了哲学概括，在其着作《概率的分析理论》（1812）一书的第2版（1814 ）序言“关于概率的哲学浅说”中提出着名的机械决定论自然观。他把自然界一切运动都归结为力学运动。在因果关系上，只肯定必然的、确定的联系，提出有一种广大无边的“理解力”可以把宇宙间大到天体小到原子的运动都无遗地包括在一个公式中，“对于这种理解力来说，没有任何事物是不确定的；未来也如过去一样全都呈现在它的眼中”，从而否定偶然性，认为偶然性是“虚构的”，是人们“无知的表现”（〔18〕）。
　　拉普拉斯自然观的理论基础是牛顿力学。尽管牛顿力学随着科学的发展，而一次又一次受到冲击，使得它的适用范围缩小到宏观低速运动，但拉普拉斯自然观仍然支配着一些自然科学家的思想，直到1944年爱因斯坦给玻恩的信中还坚特认为：“你信仰掷骰子的上帝，我却信仰客观存在的世界中的完备的定律和秩序”（〔10〕，第415页）。 如果说这时机械决定论还有栖身之所，那么混沌学的产生就使得机械决定论几乎无立足之地。
　　混沌学说明，虽然牛顿力学系统是属于确定性的，但它却存在着内在随机性（混沌）；动力学系统作有规的运动只是极其个别的，而混沌倒是自然界的一种普遍运动形式。这就从根本上动摇了拉普拉斯自然观的自然科学基础。因此，混沌学家福特（J.Ford）说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”（引自〔9〕，第4页）
　　　　2、自然观的变革
　　非线性科学说明世界本质上是非线性的，它所揭示出来的一些新的事实和规律，必然对自然观产生重大影响，这主要表现在如下几方面：
　　混沌运动的普遍性　混沌学揭示出确定论系统存在着内在随机性，而且混沌是自然界的一种普遍运动形式，而我们原先的哲学没有反映具有普遍性的混沌运动的规律。那么我们如何根据非线性科学的成果，概括出新的自然观呢？对此，一些物理学家、数学家已经提出一种混沌自然观。郝柏林教授说：“决定论还是概率论？二者的关系可能是非此即彼，亦此亦彼。更真实地反映宏观世界的观念应是基于有限性的混沌论”（〔16〕）。 英国数学家伊恩·斯图尔特也表达了类似的思想（〔7〕，引言）。
　　分形的自相似性　分形几何是研究自然形态的几何学。当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构，因此，分形学家说，自然界处处有分形。分形的一个重要特点是自相似性（或标度对称性）。对于新发现的这种普遍存在的新特点，唯心主义已经提出一种分形世界观来为星相学、占卦提供“科学根据”，那么辩证唯物主义又将如何进行概括呢？
　　空间维数观念的变革　分形几何揭示出分形结构的维数是非整数的，它表示分形图的复杂性和填满空间的程度，这是对以前人们关于空间维数观念的冲击，改变了人们先前把维数理解为确定物体位置的最少座标数的观念。
　　现在，自然辩证法工作者已经根据现代科学的成果，提出各式各样的自然观——如混沌自然观、分形（或自相似）自然观等——那么辩证唯物主义如何根据现代科学的成果概括出一个统一的、新的自然观呢？
　　　　3、对还原论的冲击
　　客观事物是复杂的，它包括时间和空间的复杂性。系统时空行为的复杂性具有不同形式，但却表现出一些共同特点：（1 ）它们一般是处于开放的、远离平衡的系统之中的；（2）存在着非线性的相互作用，其发展过程是不可逆的；（3）系统对初值具有敏感的依赖性， 但时空复杂行为通常在某些局部发展形成各种自组织形态，使其对某些种类微扰的敏感性减弱，在空间中形成较为稳定的图形（〔8〕，第4页）。但是，以往人们总是用还原论方法来处理，例如，将物质分解为分子、原子、原子核和电子……。自然界中物质运动的许多形式（如流体的湍流）都是分子以上水平的质点基本运动组合而成的，这些基本运动都是确定的和可逆的，但它们的组合运动形式却往往是不可逆的，有时甚至呈现出一定的随机性。这种情况说明，组合运动的规律不一定能由基本运动的规律来说明。例如，海岸线的长度问题，如果像以前那样不断缩小直线段来逼近曲线，就会得出无穷长的结论。
　　　　4、扩大对规律性的理解
　　以往的哲学教导我们，物质运动是有规律的。这里所说的规律是指运动轨迹空间分布的对称性和时间延伸过程的周期性，或者是运动轨迹可以用一个数学方程来表示，即有序。无序是指空间分布上的无规性和时间延伸过程的随机性。总之，就物体运动状态而言，存在着有序态和无序态这两种状态。
　　混沌学揭示出，自然界还存在着过渡性的第三种状态——“混沌序”。就其不具有传统的周期性和对称性而言，它是一种无序状态；就其空间结构而言，它具有自相似性（或者说标度对称性），表现出一种新的有序态。既然混沌是自然界的一种普遍运动形式，就说明混沌序比我们平常所理解的有序更普遍。因此，混沌序不仅扩大了我们对物质运动规律性的认识，而且将促使我们重新审查对规律概念本身的理解。
　　　　5、有限性原则
　　郝柏林教授根据混沌理论的研究认为：“完全的决定论和纯粹的概率论，都隐含着承认某种‘无穷’过程为前提”；可是，实际上“我们只能进行有限的观测和描述”。“看来，我们须得把有限性提升为一种原则，如何表述有限性原则，尚有待继续研究”。但是，“只要承认有限性，那么决定性和概率性描述之间的鸿沟就消失了”，因为“有限个随机数可能用决定论的过程来产生”（〔16〕）。
　　在这里，郝柏林教授作为自然科学家向哲学工作者提出两个问题：（1）如何把有限性原则提升到哲学上进行概括，与此相联系的是， （2）确立了有限性原则后，是否可以消除必然性与偶然性的对立呢？ 这是值得我们研究的。
　　　　6、计算机实验作为科学实验的一种独立形式
　　随着计算技术和计算数学的进步，计算机得到广泛应用，并且在科学研究和工程技术中起着越来越重要的作用。1963年， 洛伦兹（Lorenz）发现奇怪吸引子，1964年，埃农和海尔斯（Heils）发现守恒系统的混沌现象，1975年，克鲁斯科尔（Kruskal）和扎布斯基（Zabusky）发现孤立子，1978年费根鲍姆（Feigenbaum）和利布查伯（Libuchaber）发现分岔现象和湍流模型的普适性质，无一不是首先在计算机上得到的。鉴于计算数学和计算机在科学研究中的重要性，出现许多与计算有关的新学科，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学等。因此，有的科学家认为：“科学计算已经同理论与实验共同构成当代科学研究的三大支柱。”（〔6〕，第23 页）“科学与工程计算国家实验室”主任石钟慈教授认为：“计算已成为一种基本的科学方法。它与从牛顿、伽利略以来发展起来的两种传统科学方法——理论和实验——形成鼎足而立之势，大大改变了现代科学技术的面貌，人们现在已把计算称为‘第三种科学方法’。”（〔20〕）
　　科学计算涉及大量数据，不依靠计算机是无法实现的，同时光有大量数据还很难发现其中的规律性，所以它又必须借助计算机的屏幕显示出来，即通过计算机把科学计算的大量数据转化为计算机屏幕上的图形、图像，实现科学研究可视化。 所以现在出现一个“科学可视化”（Scientific Visualization，简写VISC）新概念。因此， 类似于计算机运用于数学研究而出现“实验数学”这一新的研究形式，我们能否从哲学上对“科学计算”这一新方法，进一步从哲学上概括出独立于科学实验的“计算机实验”，作为对以前所说的几种社会实践形式的一种补充和发展呢？如果可以，那么计算机实验与科学实验又有什么联系和区别呢？
　　　　7、丰富和发展辩证法思想
　　非线性科学充满着辩证法思想，它对于丰富和发展唯物辩证法将起到重要作用。
　　（1）外在随机性和内在随机性　 “必然性与偶然性”是一对哲学名词，在科学研究中与其对应的名词是“确定性与随机性”。关于偶然性的来源问题，以前的哲学教科书认为：“某一偶然的现象是事物发展过程中由于外在的非本质的原因而产生的。”（〔13〕，第143 页）我们把这种由外在原因引起的随机性叫做“外在随机性”。
　　混沌学揭示出在确定论系统的演化过程中存在着内在随机性，它与外在随机性既有联系又有区别。 我们可以根据系统的柯尔莫果洛夫（Kolmogorov）熵K的值判断其运动的性质或无规程度：当K＝0时，系统作完全规则的运动；当K为有限正值时，系统作混沌运动， 它的随机性是一种内在随机性；当K趋于无穷大时，系统作完全无规的随机运动， 这时的随机性就是一种外在随机性（〔2〕，第251页）。
　　由此可见，非线性科学使我们认识到：随机性（或偶然性）除了外在随机性外，还存在着内在随机性；它们在一定条件下可以相互转化。
　　（2）必然性与偶然性（或确定性与随机性）　 非线性科学揭示出确定性系统存在着内在随机性，而且对于不同的确定性系统能够具体指出在什么条件下系统的运动将变成随机性运动。这就为哲学上的必然性转化为偶然性提供了科学根据。
　　哲学上，一般是通过统计规律性来理解“必然性通过大量偶然性表现出来”这个命题的。个别微观粒子的运动是随机的，但大量微观粒子的宏观状态却具有统计规律性。混沌学提供了偶然性表现必然性的一种新形式。混沌就其不可预测性来说，是一种随机（偶然）的，但就其空间的有序结构而言，它又是确定的、必然的。因此，混沌序所表现出来的必然性并不是通过统计规律性表现出来的，而是其自身直接呈现出一种规律性。
　　（3）有序与无序　与必然性和偶然性这对哲学范畴相联系的， 在科学研究中存在着有序与无序这一对概念。前面说过，有序是指空间分布的有规则性和时间延伸过程的周期性；无序是指空间分布的无规则性和时间延伸过程的随机性。以前人们总是把有序与无序理解为绝对立的两种状态。混沌学揭示出，自然界还存在着过渡性的第三种状态：“混沌序”。它的发现就在确定论（有序）与随机论（无序）之间找到了中间状态，扩大了我们对有序与无序的认识以及它们之间的转化，这也从一个方面丰富了我们对必然性与偶然性的认识。
　　（4）稳定与不稳定　 系统作混沌运动所产生的奇怪吸引子或混沌吸引子，表现出在其周围的轨道总是要向它靠拢，而呈现出系统的运动在整体上的稳定性；但是，一旦轨道进入奇怪吸引子后，又产生复杂的伸拉、扭曲、折叠的过程，因此，就具体轨道来看，它又是不稳定的。产生这种整体的稳定性与局部的不稳定性的原因是，系统的确定性，使得其轨道服从确定性的规律（微分方程），所以表现出整体的稳定性；但是，由于混沌运动具有对初始条件的敏感依赖性，使得不同初始值确定的具体轨线表现出个体的不稳定性。所以，稳定与不稳定是相对立的，但它们又共处于奇怪吸引子这个统一体之中。
　　（5）简单与复杂　客观事物是复杂的， 但人们以前对复杂的事物的认识总是通过还原论方法，把复杂系统变成简单系统。分形几何提供了联系复杂性与简单性的另一种形式——迭代法。1985年美国数学家巴恩斯列（M.F.Barnsley）提出一套分形构形系统（称为迭代函数系统IFS ）。只要给出物体的几个仿射变换系数，就可以确定该物体的迭代函数系统，然后不断地应用同一种简单的迭代操作来生成植物、丛林、山川、烟云等复杂的自然景观。这是一种通过把复杂的图形转化为一种简单的迭代公式，然后利用计算机的高速运算的特点，再现复杂图形。IFS 还具有很强的图形数据压缩能力，它在数据压缩和图形通讯等领域有着广阔的应用前景。这样，我们对复杂与简单的转化形式的认识比以前丰富得多了。
　　以上就个人的认识提出几个问题，意在引起哲学界的重视。作为引玉之砖，肯定会有不全面、不准确之处，更何况非线性科学还在发展之中，诚望读者批评指正。
哲学研究京48～55B2科学技术哲学林夏水19981998作者单位：中国社会科学院哲学所 作者：哲学研究京48～55B2科学技术哲学林夏水19981998

网载 2013-09-10 21:39:56

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