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　　中图分类号：B018；N94-02　文献标识码：A　文章编号：1005-6408(2008)02-0040-05
　　涡旋的星系，奔腾的河流，振动的琴弦，收缩的动物肌肉，光纤中的光场等各种不同类别的复杂系统，其运动方式复杂多样，既表现出常规的复杂形态，也会在一定的条件下呈现出奇特的孤子图景。孤子与混沌和分形共同构成自然界非线性现象的三大普适类[1]，形成非线性科学的三大理论前沿。
　　孤子首先是在自然界观察到的。1834年英国科学家罗素(J. S. Rusell)在运河边观察到船头涌起的水波突然形成一个轮廓分明的孤立波峰保持形状不变以恒定的速度向前传播[2]，罗素称其为孤波。1895年荷兰科学家Korteweg和de Vries建立了着名的kdv方程，从理论上求出与罗素观察相一致的孤波解[3]。1965年美国科学家Zabusky和Kruscal发现弦的非线性振动和等离子体中也存在孤波，并利用计算机模拟研究，证实孤波碰撞具有粒子性质，首次引入孤子概念来描述这种孤波[4]。此后科学家相继在其它各种领域发现了孤子现象，建立起各类具有孤子解的非线性方程，并从数学和物理上探讨孤子的生成机制和具体的物理性质及其应用前景。
　　孤子的理论研究涉及到众多的基础学科和诸多的高新技术领域，其研究成果不仅拉开了自然界非线性奇异图景的帷幕，同时也促使人们重新审视自然的实在本因和原有的科学思维方式。
　　1　孤子的生成机制与运动的基本特性
　　波是振动在空间中的传播，是自然界普遍存在的自然现象。波的物理性态和空间分布形式虽然千差万别，但任何一种波动均由一系列的单色波按确定的频率与振幅分布叠加构成。波的运动性质由其频率、振幅和位相来共同决定。波因频率不同会产生色散效应，单色波列合成的波包在介质中传播会产生非线作用，相位的时空关联会表现出波的相干性。波的运动与色散、非线性作用和相干性息息相关。
　　实际存在的波大多以波包的形式出现。构成孤立波包的单色波列频率分布展宽一般较窄，各波列的振动合成基本上集中在一定的空间区域。单色波在色散介质中传播时，相速大小随频率而变，此现象称为色散。当波包受到色散作用时，各列单色波传播的步调不可能协同一致，随着时间的演化将导致各单色波叠加在空间上错位拉开，波包分布范围扩大，使波包坦化。从波包形状改变的态势而言，色散作用将导致波包前沿点的传播速度相对较快，后沿点的速度相对较慢，使波包拉宽。持久的色散作用会使波包及其能量弥散在空间之中。
　　波包在传播过程中还会受到载体的非线性作用，导致波包凸起位移越大的点速度越快，反之越慢。由于波包前沿点比中间凸起部分的位移要小，其速度相对较慢，后面凸起位移较大的部分以较快的速度向前挤压，使波的前沿不断变陡。后部因前沿的阻滞也会进一步隆起，使波包形状凸起变窄，产生自陡峭现象。自陡峭现象若无恰当的反约束作用，最终会使波包崩塌“破裂”。这就是在海边常看到滚滚而来的波浪涌向岸边碎成浪花的原因。概括而论，非线性作用可导致波包形状变窄，逐渐锐化，能量在空间上趋于集中。
　　波包在介质中传播时，一般会同时受到色散与非线性的双重作用。无论是水波、光波，还是其它物理性质不同的波，虽然各自存在某些具体不同的色散与非线性作用机制，但色散作用总是使波包变宽，非线性作用使波包变窄，二者关于波包变形的作用相反。若波包受到的色散效应大于非线性，波包仍然会坦化，反之，若波包的色散效应小于非线性效应，波包也会锐化变窄。相对于某种介质或载体，当某组恰当的单色波群构成特定形态的波包传播时，刚好可使色散与非线作用达到动力学上的平衡，波包展宽与变窄点点互相补偿，便可形成稳定不变的孤波。
　　孤波是色散效应与非线性作用协同互补平衡的结果。最早解出孤波的方程是关于浅水波运动的kdv方程，其基本形式为[5]：

u[,t]+uu[,x]+u[,xxx]=0

　　其中波函数u表示水波相对静止水面垂直凸起的位移，x为相对波包静止时沿水平方向的空间坐标，t为时间参数。uu[,x]为二次项函数，体现了流体的非线性作用。u[,xxx]是波的三阶空间变化率，体现了流体对波的色散作用。u[,t]体现波的时间变化行为。三者共存于同一方程，构成一种动力学上的量化平衡。受此量化关系的制约，在确定的物理条件下，可得到孤波解。孤波函数u的图形犹如钟状。这种波形恰好可使色散效应和非线性效应相互补偿平衡，确保波包在传播时保持形状不变。任何波形都具有自己确定的频率与振幅分布的单色波群结构，因此满足kdv方程的孤波是由其特定的多元单色波群和谐稳定地构成。
　　两个kdv孤波碰撞后，其波形和速度保持不变，具有很强的自适应调整稳定性。人们在很多领域发现了不同类别的非线性方程，从中可得到类似于kdv方程的孤波解，也有一些方程虽然存在孤波解，但不具有碰撞的稳定性。为强调这种差异，将具有碰撞稳定性的孤波称为孤子。孤子碰撞的特性综合表现为：其一，在同一空间区域彼此“透明”地穿过对方后，保持原有的速度、方向、形状、能量和动量不变，此即意味着孤子可携带信息相融交叉地穿过对方后而不失真；其二，孤子碰撞重叠在一起时的波幅高度低于碰撞前较高者的幅度，说明孤子的碰撞作用过程不满足线性迭加定理。
　　综上所述，孤子具有两大基本特征。其一有限的能量分布在有限的空间区域，其二碰撞为弹性（碰撞后保持原有的速度和形状不变）。[6]
　　上述是以kdv方程为例，阐明孤子的生成机制。在其它各种领域发现的孤子，虽然非线性方程形式会略有差异，生成孤子的具体物理过程也会各有其特点，但从物理本质的一般性而言，各种孤子生成对应的色散与非线性激励补偿机制完全类似，色散与非线性是产生孤子的物理基础。
　　波的相干性是不同时空点相位关联程度的体现，不同时空点的单色波交叉积项决定了相干作用强度。孤子方程的非线性项会生成一系列的多元单色波交叉积项，同频率单色波的交叉积项存在相位关联，因此孤波将产生相干效应。孤子的频带宽度较窄，振幅较大的单色波之间的频率相差很小，因此这些频率相近的单色波各自的相干作用行为相近一致，具有较好的协同性，表明孤子具有较强的相干度。孤子的非线性作用，使多元单色波列之间既相互独立，又相互渗透，整体上步调相近，协同调控，呈现出非独立的相干作用效应，而其外在形态则不断锐化集中。孤子在色散与非线性作用的相互调控下，可适度地自动平衡补偿，使孤子形成规整序化的多元单色波群，同时也使孤子具有和谐稳定的相干结构。
　　2　孤子是同时集波粒二性于一体的客观实在
　　孤子具有和谐的规整结构，色散与非线性效应使孤子的动量、能量和运动所占据的空间相对局域化，表现出特有的稳定性。孤子的稳定性一方面表现为整体形态、能量、动量在传播与碰撞作用下不变；另一方面则表现为其内部单色波群能在时间的演化中保持其序化、规整的频谱分布和谐不变地同步运行。
　　孤子空间的局域化，由各点振动集合界定而成，各振动点的振动以恒定的速度向前传播，使孤子外形以相同速度同步不变地向前推进，显示出波是振动传播的内涵。另外，孤子是一种具有确定频谱分布的单色波群，表明其恪守波动的分解与迭加规则。因此孤子具有波的基本特性。孤子在传播过程中保持形态和速度不变，有其确定的外形，具有恒定的能量和动量，此种行为等同于自由粒子的运动特征。孤子碰撞后，仍然保持原有形态和速度不变，服从能量、动量守恒定律，具有弹性粒子的特征。由此可见孤子也具有粒子运动的基本特征。综上所述可知，孤子是一种同时兼具波性和粒子性于一身，具有波粒运动的双重属性。这种特点是孤子运动对线性物理世界波、粒运动分离图景的超越，其与微观物质的波粒二象性也存在本质上的差异。后者是指在不同的物理测量场景下微观物质表现出来的波动性和粒子性，而对于宏观物质则不可能明确的显示出这种自在的微观行为。孤子波粒二性兼具是在非线性的物理背景下，客观物质世界显示出来的属性，波粒二性不可分割地同时寓于孤子的自在之中。
　　在线性化的经典物理背景中，物质运动的波性和粒子性是两种完全不相容的运动特性。波是振动的传播，其能量和动量不可能局域化，无论其初始波包的范围多小，最终必定要弥散于整个空间之中。波成为一种弥散的存在。经典粒子则完全是另一种运动图景。其形可局域化，甚至可抽象为点，能量和动量亦被局域在其形所在的空域中。经典粒子实际上是一种可理想化为没有内部结构的局域化存在。
　　宏观的物理运动分化为波与粒子两种运动类别，粒子性与波动性不能相合同存于同一客观对象，似乎客观世界本身就存在两种泾渭分明的天然波、粒运动行为。实际上自然本身就是非线性的，对非线性小量的忽略看似无关大局，不会改变系统质的行为。然而对于复杂系统而言，非线性小量可能是系统某种新现象生成的本质机制，抛弃非线性小量，并不是忽略大树之小叶，而是可能丢掉一颗具有新质的小小种子。此种抛弃实际上是抛掉了复杂系统的某些实在本质，人们认识到的是经过线性洗礼后的世界图景，不再是自然的全真属性。当我们意识到复杂世界应采用非线性图景去描绘时，终于明白波性和粒子性并非是决然分开不可融合的对立运动状态。考虑到波包在受到色散作用的同时也不可避免地要受到非线性作用的反制约，就会发现自然界普遍存在孤子这种独特的实在，它可同时兼集波性和粒子性于一体。孤子的波粒二重性并非是不同测量条件下表现出来的两种行为，而是其在运动的过程中同时就荷载有波动和粒子的基本特性。
　　两孤子在碰撞时构成一个短时的组合系统，二者浸溶于一体，它既不像通常的波那样遵守线性叠加原则，也不像常规的粒子那样不能共存于同一空间，而是在色散与非线性的作用下，协同相干地携带原有的全真信息“透明”地穿过对方。孤子碰撞相合而不恪守线性叠加，表明复杂系统总和不等于部分之加和不仅体现在系统的内在功能特征方面，而其外在的振动强度及其实在形体表现的相加也是如此。孤子碰撞相融而不相扰，保持其原有的规整结构及其相干秩序不变，使得外在的波形与速度不变。此种超越常规的稳定性，表明孤子的稳定是以其内部相干结构与秩序的和谐性为基础，即色散与非线性相互补偿的作用机制是孤子内在多元波群和谐共处的保证。孤子系统的这种相关作用机制、内部和谐性以及整体稳定性的相互依托的关联保证关系，是复杂系统稳定性内涵的一种具体表现。实际上任何复杂系统的稳定都是以其内部的多元群体的和谐性作为基础，而和谐性则是依靠内部某种互补机制的科学合理运作来生成。在复杂系统中，面对多元群体看似无序的混沌作用，若没有客体内部自在合理的互补，自适应的激励运行机制，要实现多元群体之间的和谐共处是不可能的。对于复杂系统，只有当多元群体建构起和谐共生的制约关系时，才能使系统形成具有抗干扰性的自稳定性。
　　孤子是一种完全不同于常规波和粒子的新客体，其内部互补机制自激生成多元波群的和谐关系，多元波群的协同运动形成整体存在的自稳定性，表现出其丰富的科学内涵。孤子既有波的本质特性，同时也兼具粒子的基本特征，又具有粒子与波所不可能具有的碰撞行为，是其内在和谐关系和外在稳定性的综合表现。孤子上述的各种特殊秉性和奇异美妙的依托与生成关系体现了其独特的科学实在内涵。
　　3　色散与非线性作用是孤子敛散互补的协同稳定机制
　　孤子的运动始终伴随着色散与非线性的双重作用，二者作用效应完全相反。色散与非线性中任何一种的单独作用或过度作用都不可能保证波包运动形态不变，当且仅当二者以相互补充的方式协调波包处在运动平衡的态势，方能使波包稳定形成孤子。相对于波包运行的具体物理环境，只有某些恰当的波形才可能使色散和非线性作用自然地形成相互补偿的动态平衡，制约波包自稳定地成为孤子。相对于孤子内部波列组成结构而言，仅当波包内一系列的单色波列在恰当强度比例的色散与非线性作用下才能序化为规整的多元波群结构，组成一个和谐同步的统一体，形成特定恰当的波形。然后反过来这种波形又使色散与非线性作用步入互相补偿、动态平衡的稳定态势，方可形成具有一定抗干扰能力的稳定孤子。简言之，色散与非线性作用在互补的机制中使波包优化成规整的相干波列结构，反过来具有规整相干的单色波列结构的波包（孤子）又使二者形成稳定的互补动态平衡。孤子单色波群的内在规整优化和色散与非线性之间的对偶作用强弱的调节相辅相成，规整优化与对偶作用动态地交织在一起，使孤子在运动中形成一种自我稳定的张弛机制。
　　波包的外在性态和内在结构表明其为一复杂系统，各个单色波构成了波包内部的多元个体，它们在色散的作用下，不能协调同步地传播，在空间上坦化散开。多元化的群体相对于同一存在环境各有其不同的行为是事物存在的个性，群体的个性差异在彼此的相互作用过程中将推动系统的演化发展。用整体的目光去考察波包内多元个体在色散方面显示出的集体行为，其态势是一种多元个体行进的不同步，导致总体走向的分散。实际上复杂系统都存在发散性的一面，只是不同的系统，其发散机制不同而已。从广义的角度讲，色散导致波包外形的拉宽效应是复杂系统发散性的具体表现之一。孤子的发散性通过色散机制来实现，由多元单色波群在空间上的分散趋势显示出来。
　　多元单色波群叠加形成的波形决定了非线性作用的强弱，即非线性作用机制与多元单色波群的组合结构相关。非线性作用的相干性使多元单色波群在空间上的叠加范围进一步缩小，使多元单色波群在空间上更加集敛，显示出锐化的波形，反过来锐化波又加强了非线性作用。这种正反馈的作用机制使多元单色波群不断地在空间上集敛。复杂系统的多元个体既有发散性的一方面，同时也具有内在集敛性的一面；呈散出系统的收敛性。非线性对波包的锐化作用机制使单色波群在空间上更加集敛是复杂系统收敛性的一种具体表现，即孤子的收敛性是通过非线性的相干作用机制来实现的，由单色波群在空间范围上的缩小集敛趋向表现出来。
　　发散性和收敛性构成了复杂系统发展变化两个对立面。复杂系统的稳定往往是一种动态之中的平衡，在微扰作用偏离的情况下，具有自我恢复稳定的功能。系统内部多元群体的发散与收敛、互补协调是复杂系统自稳定的体现。复杂系统的稳定需要其内存在一种激发敛与散的动力学机制，并在具体的环境中达到相互补偿平衡，确保系统稳定地演化。孤子是一种由多元单色波列构成的复杂系统，多元波群共存于同一空间区域，在时间演化中协调同步、有序地向前传播，其敛散性在外形上表现为波包的拉宽与挤窄，其内的本质则是多元波群传播的空间分散迭加与集敛于狭小空间的迭加的相互制约。孤子的敛、散平衡是通过色散与非线性作用机制来实现的。因此色散效应与非线性效应的互补制约是实现孤子形态敛、散互补稳定的内在机制。色散与非线性的自适应调控激励机制使孤子生成和谐规整的相干波列结构，确保孤子的敛散行为能够在动态之中均衡互补，具有自稳定性。
　　复杂系统能在复杂中求得动态的和谐稳定，在于其内部存在对偶互补，相互制约、相互牵联的作用机制。这种机制能组织多元要素自适应地形成规整的协同性，使系统敛、散演化互补平衡，具有抗干扰的自稳定性，呈现出各要素独立存在时所不具备的功能与性态。孤子的生成机制与自在行为是复杂系统上述优良性态的一种具体表现。实际上在其它类型的复杂系统之中同样也存在类似于孤子敛、散互补的自稳定特征。在太阳这种复杂的物理系统之中，是通过热核反应产生的光压膨胀与引力收缩机制实现太阳物质群体分离（散）与收缩（敛）的动态互补稳定平衡。在生命系统中，通过分子化合与分解的动态化学反应机制，使生命体获得细胞的有序定向生成（敛）与衰亡淘汰（散）的互补稳定。在经济系统中，通过市场与计划机制的运行，使其处在商品自由产供（散）与行政干预 （敛）的互补平衡中运行，促进经济的稳定发展。在决策系统中，通过民主与集中的两种决策机制，使决策意见在充分表达（散）与优化统一（敛）中得到互补，确保决策的科学性。由此可见，孤子内在的生成机制与优良的稳定性态所依赖的物理成因具有哲学层次上的内涵，体现了复杂系统动态稳定的本质内容。
　　收稿日期：2007-04-12
系统科学学报太原40～44B2科学技术哲学李梅/梅素珍20082008
孤子/色散/非线性/发散与收敛
Real essence and philosophical implication of solitons　　(Faculty of physics and electric technology, Hubei University. Wuhan, 430062, China)孤子的稳定是以其内部相干结构与秩序的和谐性为基础，其所独有的科学内涵表明孤子是一种同时集波粒二性于一体的客观实在。孤子的发散与收敛构成了孤子演化的两个对立面，其发散性通过色散机制来实现；其收敛性是通过非线性的相干作用机制来实现。色散与非线性的自适应调控激励机制使孤子生成和谐规整的相干波列结构，确保孤子的敛散行为能够在动态之中均衡互补，具有自稳定性。孤子内在的生成机制与优良的稳定性态所依赖的物理成因具有哲学层次上的内涵，体现了一般复杂系统动态稳定的本质内容。
作者：系统科学学报太原40～44B2科学技术哲学李梅/梅素珍20082008
孤子/色散/非线性/发散与收敛

网载 2013-09-10 21:19:28

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