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　　在科学、艺术和哲学的殿堂里，时常有一个幽灵般的影子，漂浮若定，时隐时现，或让人拍案惊奇，或让人掩卷遐思。她，就是我们通常所说的“黄金分割率”。十七世纪德国伟大天文学家开普勒曾经说过，几何学中有两件珍宝：一是勾股定理，二是中外比（即黄金分割率）。如果说第一件是黄金，那第二件就是宝石。在他之前的意大利数学家帕契奥里为黄金分割列出了一大堆优点，他写到：“黄金分割对我们的作用是：一、实质性的；二、特殊的；三、无法表达的；四、无法解释的；……”①确实，我们对黄金分割率的解释是很不够的。我们较多的是在艺术和美学的领域里加以运用，而对其本体论和方法论方面的开掘和阐释还远远不够，对于自然界是否存在这样一个统一的规律，如果有，又怎样把这样一个客观规律应用于我们的实际生活中，使我们能够创造出一个更符合于“宇宙大美”的生存空间，乃是一个值得深入探究的课题。本人未有遑论上述议题之设想，而只是侧重于从本体论和认识论方面阐明黄金分割率的哲学意义。
　　　　　　一　黄金分割：一个不断被发现的王国
　　所谓黄金分割率，是指事物的各部分间的一种数学比例关系，即将一整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于较大部分与较小部分的和与较大部分之比。用公式表示为：设A＞B，则A∶B＝（A ＋B）∶A，得结果为1∶1.618。也就是说某一线段之区分为0.618长和0.382长两段，前者为“大段”，后者为“小段”，其数值为“黄金值”。如果用整数表示， 即是70∶113，近似于5∶8。不过，有不少人从大数的角度，认为2∶3也是黄金分割的近似值。
　　黄金分割率的发现最早可追溯到古希腊毕达哥拉斯学派。该学派在“美是和谐与比例”以及可公度比即是美的思想指导下，潜心研究各种几何多面体，尤其是四面体和十二面体，并得出了那有名的包含黄金分割率的神秘标记（Pontalpha）。 ②而古希腊几何学家欧几里得最先完美地论证了黄金分割率。他在划时代的《几何原本》一书中用平面几何的方法证明：分割一已知线段，使整段与其中一分段所形成的矩形等于另一分段上的正方形。
　　欧洲中世纪时期，着名的意大利数学家斐波那契（约1170—1250年）在《算盘书》中提出了举世闻名的趣题：“如果有一对兔子每月生一对兔子（雌雄各一），生下的一对新的兔子从第三个月开始生兔子，试问一对兔子一年能繁值多少兔子？”这一趣题引出了着名斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其特点是u＝u[,n-1 ]＋u[,n-2]（n≥3），即从第3项开始，这个数列的每一项，都是它前两项之和。而这个数列有一个重要的性质，每前后两项数值之比，恰好为黄金分割率的近似值。黄金分割率与斐波那契数的这种内在关联，使它具有一种特殊的神秘感与迷人的魅力，这使得包括文艺复兴时期的数学家帕乔里在内的数学家们为之倾倒。帕乔里在其《神秘的比例》一书中认为世间一切美的事物，都必须服从黄金分割率这个神妙的比例法则。事实上，在文艺复兴时期，黄金分割在绘画、雕塑、建筑等造型艺术中得到了广泛而成功的应用。包括列奥纳多·达芬奇这样的艺术大师在内的许多艺术家都醉心于从机械、光学、人体解剖等中找出比例法则。他们特别注意按照黄金分割原理，采取“单眼”摄物的近距透视法则来自觉构造图形。可以说，文艺复兴时期，几何学是同艺术创作紧密结合在一起的。
　　值得注意的是，黄金分割率不仅体现于数学和艺术领域里，而且体现在经验科学领域里。天文学家开普勒（1571—1630）继承了毕达哥拉斯、柏拉图的思想传统，坚信宇宙是和谐统一的，如同上帝弹奏的交响乐一般。他在研究太阳行星运动规律的过程中，发现了着名的行星运动三定律。1619年，他出版了《世界的和谐》一书。差不多与开普勒同时，苏格兰的数学家和天文学家耐普勒尔（1550—1617）于1614年出版了《论述对数的奇迹》一书。在书中，开普勒的行星运动第三定律被表述为更为简单美妙的公式：
　　3lgD＝2lgT
　　如果我们联系到斐波那契数列，耐普勒尔的对数公式可换算为：
　　2／3＝lgD／TgT＝0.66
　　这是黄金分割的近似值。1766年，德国天文学家提丢斯根据一些已知的行星数据，发现当时已知的六大行星与太阳的距离似乎有一定的规律性。1772年，天文学家约翰·波得进一步改进和完善了行星和太阳之间的距离的经验公式，这个公式被称作“提丢斯—波得定则（Titus —Bodelaw）”。它表达为：离太阳由近到远计算， 行星至太阳距离可近似地表示为
　　a[,n]＝0.4＋0.3×2[n-2]（天文单位）
　　一个天文单位为地球到太阳的平均距离，n＝-∞，2，3，4，…，10。按上述公式计算所得的值与九大行星和谷神星（小行星带的代表）的实际观测值基本上符合得较好。之所以符合较好，是因为这个定则部分地蕴含着黄金分割原理（见表）。笔者计算了两相邻的行星到太阳距离的比值，发现相邻两个行星的比值的平均值为0.5943。如果考虑括号里面的数字，那么其平均值距黄金分割的精确数值0.618相差不太远。
　　（表）太阳系行星分布与黄金分割（单位：天文单位）

行星　　　　　　 水星　　金星　　地球　　火星　　谷神星　　木星项目(天文单位)　0.387　　0.723　 1.000　 1.524　　 2.7　　 5.203　观测值理论值　　　0.4　　　0.7　　 1.0　　 1.6　　　 2.8　　 5.2正分割　　　0.387　　0.626　 1.013　 1.6386　　2.6510　6.9384　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.2888)逆分割　　　0.3966　0.6415　 1.0376　1.6784　 2.71489　7.103　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.391)距太阳距离　58　　　 108　　 158　　 228　　　　　　　 779(10[6]公里)相邻两星　　0.58　　 0.537　 0.72　　0.65　　　0.54　　 0.53　比值行星　　　　　　 土星　　　　天王星　　　　海王星　　　　冥王星项目(天文单位)　 9.539　　　 19.191　　　　30.061　　　　39.529　观测值理论值　　　 10.0　　　　19.6　　　　　38.8　　　　　77.2正分割　　　11.225　　　 18.1598　　　 29.38　　　　 47.53逆分割　　 11.4895　　　 18.5846　　　 30.0611　　　 47.724距太阳距离　1430　　　　 2870　　　　　4500　　　　　5900(10[6]公里)相邻两星　　0.489　　　　 0.498　　　　0.637　　　　 0.7627 比值

　　注：正分割常数0.618／0.382＝1.6178； 逆分割常数0. 382 ／0.618＝0.618123。
　　十九世纪，“美在比例”的古老命题，在新的学科背景下再度崛起。德国哲学家、美学家蔡辛（1810—1876）试图给古希腊波鲁克雷斯创导的黄金分割思想奠定科学的理论基础。他于1842年发表了《人类躯体平衡新论》一书，正式提出“黄金分割”原理。1855年他又发表《美学研究》一书，进一步对黄金分割问题进行理论阐述。他发现人的肚脐正好是人体垂直高度的黄金分割点；人的膝盖骨又是大腿和小腿的黄金分割点；人的肘关节则是手臂的黄金分割点。如果从嫩叶的顶端看下去，常可以看到叶子按螺旋线上排列的距离也服从黄金分割，它是人和动物形态的一个构造原则，是解开自然美和艺术美奥秘的关键。另一位德国哲学家、实验心理学家费希纳（1801—1887）把实验的方法引入美学中。他曾以各种比例的书、窗、牌和其他日用品，对很多人进行美的心理测试。结果发现，在各种图形中，大多数人并不喜欢美学家十分推崇的正方形，　而是喜欢符合黄金分割原理的长方形。　美国美学家柯克（1867—1928）热衷于在文艺复兴时期的大画家们所作的画中寻找黄金分割原理的印证。他在《生命之曲线》一书中写道：“‘黄金分割’可以说研究的是形态而非功能，是形态学而非生理学。所以Φ数列就意味着在考虑机能和生长上、在正确理解形式及其比例上都是根本的。它暗示着生命原理和美的原理之间的某些关系，如果深究黄金分割这两方面的原理，则这两方面的原理都会得到说明。”③柯克文中所说的Φ这个无限数列为：
　　附图
　　不仅西方人，东方人对黄金分割率也有独到的贡献。在中国，古代思想家已经天才地猜测到黄金分割现象。这集中体现在古代哲学典籍《周易》及“河图”、“洛书”中。
　　清代着名经学家江慎修在其《河洛精蕴》一书中，认为上古“河图”中已经蕴含着精确的黄金分割值。他将其称为“神分线”。他将“河图”中宫十数为股，五数为勾，然后各自自乘，再开方得弦即：
　　5[2]（勾）＋10[2]（股）＝11.18[2]（弦）
　　再　5（勾）＋11.18（弦）＝16.18（勾弦和）
　　11.18（弦）－5（勾）＝6.18（勾弦较）
　　10（股）－6.18（勾弦较）＝3.819
　　这样，以16.18（勾弦和）为长
　　则6.18（小段）／10（大段）＝0.618
　　其中16.18（勾弦长）×6.18（勾弦较）＝99.99
　　则6.18（小段）／10（大段）＝0.618
　　10（股）×10（股）＝100
　　若以10（股）为长
　　则3.819（小段）／6.18（大段）＝0.6179
　　其中10（股）×3.819＝38.19
　　6.18×6.18（勾股较）＝38.19
　　如是，江慎修说：“八线表半经用全数如十，则勾弦较六一八0 三三九，即十边三十六度之通弦。得十边，即可求五边七十二度之通弦，其列率即《洛书》三率连比例之理。其所得十边通弦之数，实于五与十，而五十即《河图》之中宫，至平中有至奇焉。西人秘惜其法，谓此线为神分线，岂知神奇即在目前哉？④关于这一点，近年又有人将“河图”与古埃及金字塔结合起来研究。认为埃及金字塔的“0.63636 ……”的比例值同样存在于“河图”中。⑤另外，在《尚书·洪范》和《黄帝内经》中记载有五行思想。其中，揭示了五行相生相克的关系，即水生木，木生火，火生土，土生金，金生水、水复生木，此“生生”之义也。反之，谓之相克，如水克火，火克金，金克木，木克土，土克水，水复克火等。而这种五行相生相克的网络变化模式表达为圆中的五角星是再恰当不过的（见图）。由图中可以看到，圆内五角星的五条边在相交过程中，每条边的交点构成美妙的黄金分割图式。而且，以一条长边分割这个圆，其面积正好被黄金比值分开。当然，笔者尚未在古代典籍中查到五角星图案（圆内五角星图案是近代人用以直观表达五行思想的构思），但五行思想中蕴含的黄金分割思想是不言而喻的。
　　我们是否可以推断，古代中国没有直接发现和表述黄金分割的思想，是不是与几何学的不发达有关呢？
　　附图
　　　　　　二　黄金分割：不仅仅是“美”的规律
　　十九世纪以前，黄金分割问题主要是作为美学和艺术的对象而加以思考的。当然这不排除对黄金分割原理作广义的理解（如柯克）。但是，进入二十世纪随着自然奥秘的不断被发现，科学资料的积累以及先进计算手段的运用，黄金分割原理突破了原来的天地，在更为广阔的领域里约隐约现，似乎暗示人们，它不仅仅是构造美的法则，也是宇宙中普遍存在的、事物发展变化的一种内在法则。兹举如下：
　　（一）生物科学。植物学家研究了自然界中花朵的花瓣数目，发现大多数是3，5，8，13，21，34， 有人甚至耐心地数过一朵重瓣芍药花，发现它有235瓣。还有人数过所谓“米切尔马斯花”，它刚好是157瓣，其中13瓣与其余的144瓣显着不同，特别长并卷曲向内。 这些数字同“斐波那契数”非常接近，符合黄金分割原理。另外，如果从嫩叶的顶端往下看去常可以看到叶子按螺旋线排列，而叶子在螺旋线上的距离也服从黄金分割原理。还有，向日葵盘上的种子排列呈双螺旋状，也符合斐波那契数和黄金分割原理。在动物中，鸡蛋蛋黄的位置正处在 0.618的近似值上。蜜蜂的六边形蜂巢其底都是由3 个全等的菱形拼成的，而且，每个菱形的钝角等于109°28’，锐角都等于70°32’， 而角度之比等于0.64，非常接近黄金分割值。 这是十分有趣的。 李后强（1988）根据张颖清发现的穴位分布全息律，计算出分维值D[, f] ≈0.631，研究结果揭示了人体穴位是沿着若干条对应拓扑维数为零的点和对应拓扑维数为1的线之间的复杂途径而分布的。 这对于探讨和解释中医的针炙原理有重要意义。他还根据桑迪（M.Sando）于1981 年提出的受限扩散凝聚过程（DLA）模型， 用计算机模式模拟了具有分形特征的毛细血管的分布，计算出其在二维欧氏空间中D[,f]≈ 1.68，在三维空间中 D[,f ]≈2.4。⑥在生态系统中，生态学家采用逻辑斯蒂差分方程来描述种群的增长和下降过程。在这个高度抽象的模型中，如果把种群表示成0与1之间的一个分数，0表示绝种，1代表可以设想的最大种群，那么取一初值，一个增长率，就可计算出下一年的种群数，例如取r 值2.7 以及初始种群0.2。1减去0.02是0.98，乘以0.02得0.0196，再乘以2.7 得0.0529。经过可编程计算器运算，种群的增长和下降越来越接近一个固定的数，即0.6328至0.6296，这个数服从于黄金分割。⑦生物种群具有某种“生命潜能”，这种潜能在黄金分割率上下维持着。
　　（二）地球科学。地球是我们人类赖以生存的星球。从地球的运动、地球的热辐射吸收、水陆的比例以及冰川活动等都可以找到许多符合黄金分割率的材料。例如，地球自转赤道面与公转轨道面不相互重合，构成一定的交角，被称为黄赤交角，即23°26’。笔者根据正弦定律求得：
　　Sin23°26’＝0.3977
　　这正是黄金分割率中由中点到末点的值。又如，把所有形式的辐射，包括进入的和发出的两种，在给定的单位面积上总计起来，我们看到，每平方厘米所接收的太阳能的总量将取决于两个因素：太阳射线到达地球的角度和暴露于射线的时间长短。而实际上，地球大气中的气体分子会引起可见光射线向四面八方偏折。使我们感到惊讶的是，大气反射掉的太阳辐射能约占地球太阳辐射能的35％，地球吸收的辐射能约占地球太阳辐射中的一半多（约占65％），最后到达地面或是大洋，在那里作为热吸收。而这个值与黄金分割值十分接近。从地理分布上来看，以日为单位，在低纬度和中纬度，辐射平衡为正值，自纬度38°至极地辐射收支为负值，因而纬度38°为一平衡点。而这个值与黄金分割值相去不远（约为0.42）。能量辐射的变化也大致在这个范围以内。由于太阳辐射能是地球上能量的主要来源，因而地球上一切地理现象的变化都表现出不同程度的“黄金分割”。比如，地球上划分为热带、南北温带和南北寒带，其中热带的宽度为23°26’×2，即46°52 ’的低纬度地带。这个地带得到最强烈的太阳光辉。它的面积在地球总面积中约占39.8％，其它四个带占60.2％。再如，大陆的分布在南北两个半球是不对称的。具体来说，在北半球，陆地占39.3％；海洋占60.7％；在南半球，陆地占19.1％，海洋占80.9％；在东半球，陆地占38％，海洋占62％；在西半球，陆地占20％，海洋占80％。如果以经度0°、北纬38 °的一点，和经度180°、南纬47°的一点为两极，把地球分为两个半球， 那么，在这两个半球之间，海陆面积的对比达到最大程度。陆半球的中心是经度0°、北纬38°的一点，位于西班牙的东南沿海； 水半球的中心是经度180°、南纬38°的一点，位于新西兰的东北沿海。看， 大自然的造化竟是如此鬼斧神功！
　　（三）数学。十九世纪，卢卡斯（1824—1891）构造了一类更值得研究的数列，被称为“推广的斐波那契数列”，即：从任何两正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和。斐波那契数列及其推广最值得注意的性质是：相邻两数的比交替地大于或小于黄金分割值。并且，此数列继续下去，比值无限趋近于黄金分割值，即以黄金分割值为极限。斐波那契数列与黄金分割比的密切关系，从下列的通项公式可以看出，此等式给出斐波那契数列第n项的准确值，因为
　　附图
　　被消去了。
　　附图
　　近十年来，分形几何学的发展是数学界值得注意的现象。这个被誉为“自然界的几何学”的数学分支中同样包含着神奇的黄金分割现象。对于分形几何来说，其维数并不必为整数，并且分维值的增加构成一种幂函数关系。例如，瑞典数学家科赫创造的“科赫雪片”，其曲线上任何两点之间的距离，在极限下都是无限的，但曲线所包围的面积却是有限的，它严格等于原等边三角形面积的8／5，即1.6。由于康托尔集是“均匀的”（即由保持相同权重的区间产生），可用2[n]个闭区间来覆盖这个集合，每个区间长（（1－1／3）／2）[n]＝3[-n]。根据D 的定义，我们考虑V[,d]＝2[n]（3[-n]）[d]，令n→∞使2n3[n]3[-nd]→ 0，或相当于 n（ln2－dln3）→∞，求诸d的下确界，求得ln2／ln3为康托尔三等分集的 D，它是一个非整数0.6309。康托尔集既不是点的离散集，也不是一条线，而是介于点线的中间状态的存在。另外，将一块平面反复贴合而成的“马蹄铁”形状嵌入原来的正方形，并不断地重复这样的变换，最终产生了复杂层次结构的集合，其维数等于 1＋log2／log3＝1.63。尽管分形几何的维数由于标度的不同，而表现出不同的分维值，但是只要细心，仍然可以经常看到类似上述的分维值。如，几种蛋白质的分维值大都在1.62左右。
　　（四）物理学。物理学是研究物质运动的一般规律和物质的基本结构的科学。现代物理学的发展，不断揭示着物理现象中隐藏着的黄金分割机理。1982年，在美国国家标准局实验室里，物理学家舍赫特曼发现了铝和锰合金五度轴对称的点衍射花样。经认真研究后，认为这是固体中新近发现的一种准晶体结构。后经穆斯堡尔谱的研究，表明存在两种可分辨的锰原子位置，它们相对于铝原子的位置是完全反对的，而这些位置出现的相对几率是1.6±0.2，非常接近黄金分割值。接着，斯坦哈特、纳尔逊和罗卡特等运用计算机进行模拟以后又作了更详尽的数学分析。他们的研究结果证明：这种准晶体结构中的准晶格点，由平行面族（或族线）相交产生，它们的相邻间距在斐波那契数列中的两个特征长度间交替变换；较长的与较短的间距为黄金分割值。
　　1985年，詹森（Jensen）等人研究了瑞利—贝纳德（ Rayleigh —Benard）热对流中流体的不稳定现象。他们观察的流体储存在一个长方形的小容器中，容器的顶部与底部存在一个温度差△T， 形成的热对流线是水平方向的两个滚筒。当增大底部与顶部的温度差，使△T 超出某一临界值时就会导致流筒对流线出现不稳定，并开始按ω。＝230mHz频率有规则地变形。为了给系统以扰动，詹森等人将小容器放置在一个水平磁场中，并在底部中心与顶部中心通以交流电， 交流的电频率为 ω[,ac]＝Ωω。这里Ω＝（
　　附图
　　－1）／2为黄金分割比值。 扰动的结果，导致靠近容器底部液体的温度随时变化并不规则地起伏。对这些起伏进行记录，就得到温度的时间序列T[,t]。 詹森等人用盒子计算法得出了热对流中f（a）－α曲线，并且还发现，热对流在黄金分割点的扰动和临界周围映射具有相同的多重分析结构。⑧
　　（五）思维科学。思维科学是研究人们的思维方式以及思维的发生机理的科学。它虽然是一门新的学科，但同样也积累了不少资料。对于心脏与脑的关系究竟怎样，心脏是如何参与脑的思维的，心、脑状态变量之间的最优化值是多少等问题，王德ｋūｎ＠①、李慎芙两人进行了开创性的研究。她们从10名心脑血管病患者（均龄56岁），4 名脑血管病患者（均龄9岁）以及5名研究人员（均龄39岁）的心脏电波上取样进行实时测定。测定部位为左右大脑半球、左右额区、左右枕区、中线区以及心电标准导联Ⅰ，对于病人只测闭目、安静状态；对于研究人员则测安静、心算、背诵诗词以及气功等4种状况。 每人每种状态都在心脑8个分部上，计算出δ、θ、β[,1]、β[,2]、β[,3]等6个频段的平均功率谱；然后，再按10种组合方式，分别求取两两部分间状态变量的比值。其结果表明，在脑与脑或脑与心之间，各频率段的平均功率谱比值以“ 0.6”的出现机率为高，非常显着性地多于“0.1—0.7”（P＜1％）；比值“0.6”的平均值为0.646，标准差为0.030，标准误差为0.029，变动范围为0.617—0.675。这正好将黄金值0.618包括在内。 而在背诵诗词、较安静状态时，比值“0.6”的出现几率显着增高。 特别是精神意境和谐、怡然、深远时，则最优化耦合系数愈逼近0.618， 且出现几率也明显增多。轻微心理功能障碍时，最优化耦合系数出现几率锐减，其值则向远大于0.618的方向偏移； 脑内疾病定位区最优化耦合系数缺如。⑨
　　　　　　三　黄金分割：“真”与“美”的统一
　　　　（一）黄金分割是客观世界普遍存在的一种物质运动形式
　　恩格斯曾经指出：“世界的真正的统一性是在于它的物质性，而这种物质性不是魔术师的三两句话所能证明的，而是由哲学和自然科学的长期的和持续的发展来证明的。”⑩黄金分割现象是客观世界物质运动规律的一种表现形式。最初，人们通过数学的推演计算和艺术的审美判断而把它归之于主观范畴的东西。如，毕达哥拉斯学派认为“数”是万物的本原。但是，随着经验科学特别是大量的实验物理现象和天文观测现象的发现，人们逐渐认识到“黄金分割”是一种自然现象，是客观世界统一性的表征。因为，无论是在无机界，还是在有机界，无论是在自然、社会还是人的思维运动，无论是在微观、中观，抑或是宏观、宇观，黄金分割都在那里起作用。它仿佛一只“看不见的手”在那里操纵着整个世界，并使之和谐有序。我们称之为“黄金动力”。
　　但是，为什么整个自然存在着“黄金动力”或“黄金分割律”呢？我们认为这是大自然的本性，是大自然和谐、自洽的本质要求。关于这一点，科学家奥古斯特·布赖菲（Auguste　Brarais ）、 福格尔（H. Vogel）等人的研究很有说服力。1837年，晶体学家奥古斯特·布赖菲及其兄弟路易（Louis ）在研究植物生长过程中的螺旋线和斐波那契数时，注意到植物发育原基中心到尖端所形成的夹角，并且相继的夹角是完全相等的，它们的公共数值叫发散角，通常很接近137.5度。1907 年范蒂尔森（G.Van.Iterson）顺着这条线索探寻，搞清楚了在被137.5度角分割的紧密盘旋螺线上画出相继点时所发生的情况。由于相邻点开列的方式，使人眼能认出两族彼此互相交错的螺线——一族顺时针旋转，另一族逆时针旋转。1979年，福格尔从排列的几何学角度得出的实验数值表明，假若相继原基按照黄金分割角排列在生成螺线上，则它们将最有效地挤在一起。因为想有效地填满所有空间空隙，需要的发散角必须是360度的无理数倍数，即被一个不能表示成两个整数比的数相乘。 而黄金分割数正如数论专家所说的是最无理的数。福格尔的计算机实验证实了这一预言。其后，法国巴黎统计物理学家道狄和库得从动力学的角度证明黄金分割现象，并设计了一个实验系统。他们假定，某种相继的基元——代表原基——在小圆（代表植物尖端）边缘上某处以相等的时间间隔形成，然后这些基元以某个特定初始速度径向地迁移。此外，他们还假定基元之间互相排斥，就像带相同极性的相等电荷或磁体那样。这确保了径向运动不断地进行下去。根据这些假定，他们在用置于垂直磁场中充满硅油的圆碟完成了一个实验。实验结果是，相继液滴以很接近于黄金分割角的发散角落在一条螺线上，产生出交错螺线的向日葵种子模式。(11)虽然上述推论和实验能不能解释所有黄金分割现象还不能作最后的结论，但至少说明了某些黄金分割现象产生的微观机理，是自然发生论的有力证据。
　　黄金分割律作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界中的现象之间的必然的、实质性的、不断重复着的关系。它如同万有引力定律、能量守恒与转化定律等一样有比较精确的数学表达，同时又像系统与结构、信息与控制等原则那样具有较高的普遍性和抽象性。如“提丢斯——波得定则”实际上就是“黄金分割律”的近似的数学表达形式。而体现在阴阳八卦中的黄金分割思想则具有较高的哲学意味，正因为这一点，黄金分割本身体现了客观世界统一性与多样性两者的辩证关系。即客观世界在本质上展示黄金分割魅力的同时，也容纳表现形式上的各种变化。例如，太阳系中行星分布并不是严格地按照黄金分割进行的。此外，在其它自然现象中大量存在着的近似值，也说明了这一点。
　　黄金分割律还为“真”与“美”的统一奠定了坚实的客观基础。真善美的统一是人类追求的最高境界。法国哲学家狄德罗曾说，真、善、美是紧密地结合在一起的。那么，真善美三者有没有统一的基础，是怎样统一的，这些问题需要从理论上阐述清楚。而我们知道，从毕达哥拉斯开始，人们一直认为，上帝是以几何学的原则来建造宇宙之美的。而这个几何学的原则主要是指黄金分割原则（从美术发展史的角度来看，在历史上艺术家们还采用了另外一些具有新的美学特点的分割线段的比例关系，如
　　附图
　　∶1（相当于1.4142∶1）。黄金分割原则蕴含了美学价值。现在看来，这种美学价值有着现实的客观基础，即蕴含着事实价值和真理性价值。它是自然界“黄金分割”运动形式在人们的观念形态中的反映，并通过审美活动产生愉悦和快感。由此我们想起马克思关于“美的规律”的思想。在这里，“美的规律”说到底是一种自然的历史的运动形式，同其它任何自然规律一样，是外在于人的主观认识的。只有当它成为一种感性形式、同人类的实践活动联系起来时，它才具有了主观、符号化的形式。与自然规律不同的是，美的规律在成为“美的定律或原则”时，它更多地诉诸于人的感性形式。从审美主体来看，人类的审美心理活动的产生也是按照“黄金分割律”进行的。王德ｋūｎ＠①等人的研究表明，意识活动（包括审美活动）与脑心部分的最优化耦合相关。由此我们可以得出结论，具有普遍意义的黄金分割律是自然运动规律与人类的审美活动统一的客观基础，在一定意义上找到了“真”与“美”统一的内在机理。我们有理由相信，进一步的研究，我们可以最终实现中国传统哲学所谓的“判天地之美，析万物之理”的目标。
　　　　（二）黄金分割率是对立统一法则的延伸和补充
　　根据唯物辩证法的原理，任何事物都是作为矛盾统一体而存在的。即每一事物都包含着互相对立的两个方面。对立的双方既互相排斥，又互相依存，共居于一个统一体中。在这个统一体中，矛盾的双方不总是处在势均力敌的状态下的，常常以一方为矛盾的主要方面，另一方为次要方面。由于矛盾的双方又同一又斗争，矛盾双方力量的对比会发生变化。当这种变化达到某个关节点时，矛盾双方的性质就会改变，一事物就会转化为它事物，原有的矛盾统一体就会让位于新的矛盾统一体。这是我们从辩证唯物主义对立统一学说中得到关于事物矛盾状态变化的说明。
　　但是，矛盾的双方处在一种什么样的状态中才算是稳定的、和谐的、自洽的？矛盾的主要方面在多大程度上最能充分地表现事物的性质？显然这里有个度或最佳度的问题。而矛盾学说不能给予说明，也不需要给予说明。因为矛盾学说概括总结的对立统一法则是事物运动变化的最一般的法则，具有很高的抽象性和普适性。当要用来说明具体事物的度或最佳度问题时，常常需要经过一系列具体环节和经验科学的帮助。其中，黄金分割法则是一个十分重要的中介环节。
　　我们可以把黄金分割率看作是矛盾双方统一体学说的一种数学表达。而“度”则可看作某一给定的线段，线段的起点和终点正是“度”的上限和下限。而“最佳度”则是这条线段上的某一点，也可说是上述两点之外的第三点。当然，这个第三点当它表征最佳度的概念时，通常稳定在“0.618”值。例如，人体是最佳的矛盾统一体。
　　需要说明的是，作为说明最佳矛盾统一体的黄金分割法则并非某一具体运动形式的揭示与表达，而是具有一般性质的总体概括。正如道家鼻祖老子所言：“道生一、一生二、二生三、三生万物……”。黄金分割值正是老子所说的“三”，既在“二”之下，又在“万物”之上，是事物由“道”向“器”、由“一”向“多”转变的中间环节。因而，它既具有哲学的思辨性，又具有经验科学的可操作性和数学表达的完美性。也因为有了这样的性质，我们常常在事物的某些层面上不能直接看到黄金分割律的“倩影”，而且，我们能够直接描述的黄金分割值许多也只是近似值。
　　还需要说明的是，黄金分割是否是宇宙的广义分形？黄金分割值与作为八卦思想的数学表达的“太极序列”是个什么关系？应当说，古代《周易》思想是一种朴素的“分形理论”。李后强等人（1990）把《周易》思想同分形概念联系起来。他们认为伏羲氏所作64卦次序图，可分解成一个康托尔集。但它并非一般的“三等分”康托尔集，其自相似比r＝1／4，N＝2，分维D[,f]＝0.50 。 我国天文地质学家徐道一等人（1989）在广泛研究天、地、生各种现象的有序性（如周期、旋回、韵律、节奏等）的基础上，发现这些周期与被称为“太极序列”的数值
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　　有很好的对应关系。所谓太极序列是一个无量纲指数序列。只需要将K ＝…， -α， -1，0，1，2，…等代入式中通过计算即可求得。而且，依K 之奇偶性可将上述序列一分为二，得到两个子序列：…，1.414 ， 2.83，5.64，11.3，22.6，45.3，90.5，181，…；…1，2，4，8，16，32，64，128，…。这两个子序列恰对应于“太极生两仪， 两仪生四象，四象生八卦”的古代太极思想。其中，偶序列被称为基本序列。(12)如果太极序列被证实，对预测未来和自然科学无疑是一个重大的发现。至少它是对包括八卦思想在内的古代辩证法和现代辩证法思想的数学说明的尝试。
　　但是，上述观点似乎过于执着于矛盾双方的消长与转化的一面。因而上述观点中用于说明的一些数据显得过于僵硬和牵强。有学者（梁立明，1990）指出，天地生各种自然现象的周期与
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　　周期序列之间对应方式是有区别的，有些周期是不变的，有些则是可变的。而可变的周期并非有很好的对应数值。例如，行星同太阳距离的提丢斯—波得定则与空间周期序列数值就没有很好的对应。且不说行星依次与太阳的实际距离与太极序列理论值完全不相符合，即使以地球到太阳的平均距离为一个天文单位所求出的数值也与太极序列理论值相比出入较大。以海王星为例，其太极序列理论值为38.8，而实际观察到它到太阳的平均距离则为30.061。梁立明指出，常周期现象的背后有可能是一种线性调控因素。某一自然现象的不变周期P[1]与某一大数，如
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　　对应，就意味着P[1]＝P／a＝
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　　。此时，若要探寻该自然现象具有太极数周期的原因，就必须从比式P／α出发。而自然现象的变周期序列如果为等比递增序列， 那么，调控周期长短的因素在数学中可能具有对数函数的形式。例如，蒋匡仁（1976）提出的地球运动模式就认为，地球冷暖变化数值规律可以用对数螺线P＝ae[mψ]来表示，其中包含着一个关于冰川周期的等比序列，而且是一个公比为1.64＝1／0.61的等比序列。 这一公比恰好是黄金分割值0.618。这样，根据以上的数学分析，在公比1／0.61背后起调控作用的各种因素，其综合作用效果也等价于对数规律的支配作用，只不过和公比为
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　　的太极子序列相比，各自所对应的对数曲线中a、p值不同而已。(13)
　　举上述例子并不是想否定太极序列值进一步推导与预测经验事实的可能性，而只想证明
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　　的太极序列并不是唯一的变周期序列。至少我们可以找到公比为1／0.61的变周期序列加以补充。事实上，
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　　的太极序列还可能与公比为1／0.61的变周期序列存在着内在的联系。如前所述，有人已从“河图”数字符号中导出黄金分割值。这也许是黄金分割律作为对立统一法则的补充和延伸的证明。
　　　　（三）黄金分割法则为人类实践活动提供了一般的方法论原则
　　马克思在《1844年经济学—哲学手稿》中指出：“动物只按照他所属的那个物种的标准和需要去制造，而人却知道怎样按照每个物种的标准来生产。而且知道怎样把本身固有的（内在的）标准运用到对象上来制造，因此，人还按照美的规律来制造。”在这里，马克思不仅把“美的规律”看作是艺术创造的规律，而且也看作是人们物质生产的一般规律。他认为，无论是物质生产产品还是精神生产产品，都与美有联系。黄金分割律是自然和“美”的一条重要规律，在人们把握它以后，能够有效地指导人们的实践活动：创造物质文明和精神文明。因而，黄金分割法则为人们的实践活动提供了一个较基本的方法论原则。并且，黄金分割法则不同于对立统一法则的地方，在于它更具有实体性、功能性、精确性，因而具有更为直接的可操作性。
　　在认识和改造客观对象的过程中，认识事物的度特别最佳度的问题，是人类实践活动的一个突出的问题。黄金分割法则为人们把握事物的最佳度提供了一个最基本的依据。我们可以把黄金分割线的两段看作矛盾双方的统一体。其中一条线段可看作矛盾的主要方面，另一段可看作矛盾的次要方面。在我们确定矛盾双方的性质时，应当作具体分析。例如，一个健康人的体温应当稳定在37℃左右。这时，人体内部两类性质的矛盾双方达到量的最佳的比例。而当人生病发高烧时，人体（矛盾的性质）就会发生变化，矛盾的主要方面也会发生易位。举这个例子是说明，运用黄金分割法则能够使我们更好地运用对立统一法则，能够更准确地把握事物的“最佳度”。可以说，“0.618 ”是事物最佳度的“普适常数”。
　　从各方面的资料来看，除了在美学与艺术创造活动中大量采用黄金分割法则外，人们已经总结出成功运用黄金分割法则于物质生产领域中的经验，这一法则的突出作用在于它的优化原理的运用。下面举两个较为典型的例子。
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　　在经济学领域中，新古典主义经济学家菲力普斯和霍普曼等人提出了人均资本存量的“黄金定律”。即表征在什么样的情况下，资本劳动力的比率最优，人均消费可以达到最大。（如图所示）图中，人均产出Y／L曲线和人均储蓄曲线之间的垂直距离即人均消费C／L，C／L＝F （K／L，1）－K／L×n－△K／L，△K／L为图中的NJ部分。在既定的储蓄倾向Sr下，当人均储蓄曲线是S／L时，如果人均的资本存量为（K／L）[,1]，人均创造的投资将超过在一定的劳动增长水平上维持人均资本劳动力比率不变的需要，超过的部分就是△K／L。△K／L将使以原来的劳动力总额计算的人均资本存量提高到（K／L）。这时△K／L＝0， 人均创造的投资恰好能满足在一定的劳动力增长水平上维持人均资本比率不变，取得均衡。但是，在（K／L）。上的人均消费并不是最大的，于是政府就通过财政政策或货币政策降低人均储蓄， 使人均储蓄曲线降为S'／L，使得人均资本存量为（K／L） [,1]， 这时人均创造的资本恰好满足在一定的劳动力增长水平上维持人均资本劳动力比率不变的需要，人均的储蓄全部转化来维持人均的资本量不变，在J点取得均衡， 这时△K／L＝0。在这一点上，曲线Y／L（曲线Y／L在M点上的切线）和K ／L×n平行，也就是人均资本存量的边际生产率等于劳动力自然增长率，这时人均消费取得极大值。
　　经济学家约翰·冯·诺伊曼建立了最大的平衡增长率模型。与此相似，这个模型也是符合黄金分割法则的，其他割点出现于利息率与人口增长相等之处。(15)还有人提出所谓商品的最优价，即最高档价格减去最低档价格乘以0.618即为商品的最优价格。比如， 茶叶品种规格很多，仅茉莉花茶就有十几个品级，如高档的每公斤92元，最低档的每公斤12元。根据商品的最优价法则计算：（92－12）×0.618＝49.44元／公斤。根据信息统计，这一档次的茶叶正是最受消费者欢迎的。另外，还有人运用黄金分割法则研究股市的反弹现象。(15)
　　在管理科学中，寻求目标的最优解常常需要运用黄金分割法则。我国着名数学家华罗庚创造的优选法（包括分数法）以及最优控制系统专家特略金等人的“极大值原理”等都是黄金分割法的成功运用。在求解单变量极值问题中，设目标函数的极值所在的区间为（a，b），该法取第一个试验点X[,1]在区间为0.618比例处，即X[,1]＝a＋0.618（b －a）。计算该点函数值f（X[,1]），然后取该点的对称点作第二试验点 X[,2]，即X[,2]＝a＋b－x[,1]。再计算f（X[,2]），然后将f（X[,1]）、f（X[,2]）进行比较。如果极值为取最小值，则留下两者的目标函数小的值。如果极值为最大值，则留下两者的函数大的值。例如：目标函数的极值为最小值，且f（X[,1]）、f（X[,2]）则去掉a到X[,2]那一段区间，下一步即取留下区间（X[,2]，b）中X[,1]的对称点作X[,3]，即X[,3]＝X[,2]＋b－X[,1]，然后比较f（X）与f（X[,3]），如此等等，直到找到按精度要求所需要的最小值为止。当用上述方法处理不方便时，可用0.618的近似分数值取代，即“分数法”。 管理学家鲍吉人总结了社会科学和自然科学的理论成果和经验材料，提出了“三结合决策优化——K、Q、M理论”。他认为万事万物可一分为三。θ[,c]＝0.333是K、M理论中的一个临界值。例如，在领导决策中，可分为优解、次优、非劣解和劣解三部分。只有θ＝0.333，M＝1，有η＝
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　　＝0. 667 时为62.5分，即素质为很好或较好的系统。他认为，0.618是数学的优选，K、θ、M则是力学的优选法，它是近似数学优选法的。(16)由此，我们可能形成一门“黄金管理法”的新兴学科。
　　以上所述的只是一些比较典型的例证。事实上，黄金分割法的运用例证还很多。如市场营销中，运用黄金分割值设计消费者满意的小汽车造型，将袋装药芯外敷在人体神阙穴（此恰为人体高度的神分点）达到“内病外治”的“505神功元气袋”、心理学中“黄金记忆法”等等。可以说，黄金分割法则已普遍运用于社会生活的许许多多领域。它已成为模拟自然本性，创设和谐、舒适、美好生活环境的一种基本方法。
科学技术与辩证法太原26～34B2科学技术哲学蒋谦19991999文章在陈述黄金分割现象的基础上，着力阐释黄金分割率的本体论内涵和方法论意义。文章认为黄金分割法则是对立统一法则的补充和延伸，是人类实践活动的重要方法论原则。黄金分割/本体论/方法论蒋谦，男，40岁，华中理工大学在职哲学硕士研究生。邮编：443503 作者：科学技术与辩证法太原26～34B2科学技术哲学蒋谦19991999文章在陈述黄金分割现象的基础上，着力阐释黄金分割率的本体论内涵和方法论意义。文章认为黄金分割法则是对立统一法则的补充和延伸，是人类实践活动的重要方法论原则。黄金分割/本体论/方法论

网载 2013-09-10 21:22:30

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