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　　中图分类号：B221；N09；O11　文献标示码：A　 文章编号：1003—3882（1999）04—0086—11
　　李约瑟博士在30年代末期酝酿写作《中国科学技术史》时提出了一个发人深思的问题：“中国古代有杰出的科学成就，何以近代科学却崛起于西方而不是在中国？”这就是着名的所谓“李约瑟之谜”。
　　这个问题触及了中国人民的伤心之处，不少学者对这一问题作过热烈的讨论，见仁见智，众说纷纭。作者认为，其中有一个不容忽视的原因，就是《周易》对中国古代科技（特别是数学）的影响。
　　　　　　一、模式——《周易》的精髓
　　《周易》是一部什么样的书？《系辞下传》说：“昔者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”。这说明了，伏羲氏所作的卦，是通过对天地间一切事物的观察，从各个不同的方面抽象出来的一种“类万物”的综合性的模式。《系辞上传》说：“圣人有以见天下之赜，而拟诸其形容，象其物宜，是故谓之象。圣人有以见天下之动而观其会通，以行其典礼，系辞焉以断其吉凶，是故谓之爻。”这就是说，圣人看到天下事物的复杂性，便模拟天下万物的形象，成为卦象。圣人看到天下事物的变化，乃于错综复杂的变化中，体会出融会贯通的道理，当作处理事物的规律，并用文字记录以帮助人们趋吉避凶，这些文字称为爻辞。所以，卦爻都是一种处理事物的模式。故东汉经学家郑玄将其概括为：“《易》一名而含三义：易简，一也；变易，二也；不易，三也。”这就是说，《易》提出了宇宙人生、万事万物的一种简化了的模式（易简），通过模式帮助人们了解事物变化的规律（变易），研究其中不变的原理（不易）从而解决各种疑难问题。
　　古人把《周易》的模式看得极为重要，认为掌握了这个模式，天下所有的道理都掌握了，掌握了天下的道理，成功也就在其中了（“易简而天下之理得矣；天下之理得，而成位乎其中矣。”——《系辞上》）。《周易》是开启智慧，成就事业，包括天下一切道理的模式，圣人可以凭借它来了解天下的动态，奠定天下的事业，判断天下的疑问（“夫易何为者也？夫易开物成务，冒天下之道，如斯而已者也。是故，圣人以通天下之志，以定天下之业，以断天下之疑。”——《系辞上》）。
　　古人不仅认为易的模式极为重要，还认为人类无时无刻不在从不同的角度利用这一模式，只是不自觉而已。（“仁者见之谓之仁，智者见之谓之智，百姓日用而不知，故君子之道鲜矣！”——《系辞上》）更有甚者，古人还认为天下一切事物，虽然变化无穷，但都不能超越易卦的模式；人的思维方法，虽然千差万别，但都统一于易卦的模式（“范围天地之化而不过，曲成万物而不遗”——《系辞上》；“天下何思何虑，天下同归而殊途，一致而百虑，天下何思何虑？”——《系辞下》）。
　　综上所述，古人曾经把易卦当作一种万能的模式，有“范围天地”，“曲成万物”的作用，有万方“一致”，“天下同归”的威力。我们今天用科学的眼光来考察《周易》，当然不能盲目照搬古人的论点，但是仍然不能不承认，《周易》的确是为人们提供一种思维模式的书。
　　德国数学家莱布尼兹（Leibniz,1646～1716）曾惊奇地发现，他发明的二进数与易卦具有同构关系。其实，易卦作为一种抽象的符号系统是一个良好的代数结构，从易卦的符号系统出发，可以构建起现代数学的某些内容。[1]其中最值得注意的是易卦与布尔向量的关系。 布尔向量是由0与1两个数字按一定顺序排列的数组，如（1,1,0,0,1,1），（0,0,0,1,1,1）等等都是布尔向量，数字的个数称为它的维数，每一个数字称为它的一个分量。布尔向量是现代数学中一个重要的概念，它被广泛地采用为描述具有若干因素，而每种因素都有两种对立状态的事物的数学模型。若干布尔向量排在一起就可以构成布尔矩阵（也称0～1矩阵），布尔矩阵是现代决策理论中常用的重要数学工具。如果我们把一个易卦的爻与布尔向量的分量对应，阳爻与1对应，阴爻与0对应，则每一个卦都可以看成一个6维布尔向量；反过来，每一个6维布尔向量也可以看成一个易卦。把几个易卦并列起来就得到一个布尔矩阵。所以布尔向量与易卦具有同构关系，也就是说，从某种意义上讲，两者可以看成是相同的东西。既然布尔向量可以作为今天人们决策中的数学工具，与之同构的易卦也就有可能是古人思维决策的数学模型。因此，笔者曾经提出了这样一个论点：“易卦是古人思维决策的数学模型”，“卦爻辞是古人解释思维决策模型的例题”。[2] 因之《周易》（指经文部分）是一部由思维决策的模式与解释模式的例题结集而成的书。
　　　　　　二、模式化——中国古代数学发展的道路
　　古代数学思想分为两大体系，一个是以欧几里得的《几何原本》为代表的西方数学思想体系，这个体系以抽象化的内容、公理化的方法、封闭的演绎体系为其特色。另一个则是以中国的《九章算术》为代表的东方数学思想体系，这个体系以算法化的内容、模式化的方法、开放的归纳体系为其特色。
　　中国古代数学走上了模式化发展的道路，因为数学本身的学科特点，这种模式化的思想就集中表现为算法化的思想。所以，我们可以把中国古代数学发展的道路简单地概括为：方法的模式化和内容的算法化。
　　至于中国古代数学算法化的思想则大体表现如下：
　　第一步：把实际中提出的各种问题转化为数学模型；
　　第二步：把各种数学模型转化为代数方程；
　　第三步：把代数方程转化为一种程序化的算法；
　　第四步：设计（包括以后的逐步改进）、归纳、推导（寓推理于算法之中）出各种算法；
　　第五步：通过计算回溯逐步达到解决原来的问题。
　　用框图可以表示于下：
　　附图
　　这种模式化方法表现出下列特点：
　　（一）开放的归纳体系　由于中国古代数学是把当时社会实践中所需要解决的问题分门别类，提炼出若干数学模型，然后对每一种模型给出算法，所以是一种从个别到一般的归纳体系。由于社会不断地发展，社会实践必然会提出需要解决的新问题，为解决这些问题必须提出新的模型，研究新的算法，所以是一种开放的体系。由于这不是一种系统的演绎逻辑体系，内容不是依次向前推进的，因而与原有内容跳跃的、无关的甚至矛盾的内容都可以随时加进来。如刘徽在《九章算术注》中提出与前后内容都脱节的极限思想方法，《孙子算经》中还有纯属术数的推断生男生女的问题等。
　　（二）寓理于算的表述方式　中国古代数学思想强调的最终目标是得到好的算法，至于如何得到这些算法的推理过程就被大量地省略了，以至被人误认为中国古代数学全凭经验归纳而不重逻辑推理。这种看法是错误的。中国古算经中的那些算法是那样的准确、复杂、抽象，没有严密的推理过程是不可能凭经验就能归纳出来的。例如，我们将在后面谈到的《周髀》中关于勾股定理的证明，其推理之严密，思路之巧妙，与我们今天见到的数以百计的历代关于勾股的证明相比，毫无逊色。《九章算术》中关于约分的“更相减损”原理，即使在今天，也没有比其更好的、有本质区别的约分方法。没有相对严谨的逻辑推理过程是不可能做到这一步的。
　　（三）构造性与机械化的特色　以模式化为其发展道路的中国古代数学的最大特色是构造性和机械化。吴文俊教授曾经指出：“我国古代数学，总的说来就是这样一种数学，构造性与机械化是其两大特色，算筹算盘，即是当时施用没有存储器的计算机。”[3]
　　最早为数学提出构造性与机械化的典型范例之一是《周易》中“揲蓍成卦”的方法：“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于＠①以象闰。……是故，四营而成易，十有八变而成卦……”这是一个典型的机械化程序。古今学者对“大衍之数”为什么是50，而实际运用又只要49，觉得难以理解。其实，揲蓍成卦这一套程序，与数学有密切的相关。在满足占筮活动中某些必要条件的限制下，“大衍之数五十，其用四十有九”，是唯一的最佳选择。
　　　　　　三、周易的模式造成了中国古代数学的模式化
　　伟大的科学家爱因斯坦（Einstein 1879～1955 ）曾经说过：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的，令人惊奇的倒是这些在中国全部做出来了。”[4]
　　为什么中国的贤哲没有使中国古代数学走向公理化的道路，而却走上了模式化的道路呢？最重要的原因就是《周易》模式的影响。它形成了中国古代数学的初始状态，以逻辑体系为初始状态则发展为西方数学，以《周易》模式为初始状态则发展为中国古代数学。
　　《周易》对中国古代数学发展的影响，表现在以下几个方面：
　　　　（一）中国古代数学家大都精通易学
　　古代本来就没有社会科学与自然科学的分野。我国古代士人幼年受教育都是从读经开始，《周易》长期被儒家尊为群经之首，中国古代数学家很早就受到《周易》思想的熏陶，自觉或不自觉地把《周易》的思维模式带进了对数学的认识和研究之中。
　　刘徽就认为数学的发展始源于《周易》：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。”他认为，数学（九九之术）就是为了合六爻之变（周易）而作的，黄帝再加以引伸和变化，就可以用于天文历算，然后《周易》中“两仪”、“四象”那些精微的思想，逐步在数学中得到体现。刘徽还认为，指导数学研究的思想是《周易》阴阳对立的思想，“一阴一阳之谓道”，也是数学研究的模式。他写道：“徽幼习九章，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”他强调数学的根源在于阴阳的割裂，《周易》的阴阳变化是数学研究的基础。
　　另一位数学家秦九韶（1202～1261）则认为数学的产生“爰自河图洛书”，强调“数与道非二本”。这里所说的道也就是易道。他发明了一次同余式组的解法，那是数学史上一项极为重要的成果。国际上称它为“中国剩余定理”或“孙子定理”，秦九韶却认为它是《周易》的产物，“圣有大衍，微寓于易。……衍而究之，探隐知原。……”宣称他的重要发明是研究《周易》中的“大衍术”而获得的，因而称它为“大衍求一术”。
　　赵爽在注《周髀算经》时从一个正方形出发，不断分割出19个几何命题。这种研究方法显然也是受了《周易》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的影响。中国古代几何的方圆术正是通过不断地分割拼补圆与方的图形而推导出丰富的几何内容的。将中国古代几何的方圆术与欧氏几何比较就可发现：欧氏几何在思想上源于西方的本体论，认为世界是由某种不可分的单位组成，那就是点，由点而生线，由线而生面，这是一种组合过程，在组合过程中不断产生新的图形。而中国古代几何则源于“天人合一”的本体论哲学，由象征天地之形的圆方不断分裂，产生出新的图形，是一个分解过程。正是刘徽所谓“然后两仪四象精微之气可得而效焉”的具体体现。
　　顺便指出，许多中国古代知名的易学家也对数学有较深的造诣，如郑玄、虞翻、焦循等都有数学论着。
　　由此可见，《周易》思想对中国古代数学家世界观和方法论的形成产生了决定性的影响。
　　　　（二）中国古代数学着作都在形式上模仿《周易》
　　我们在前面曾经论述了，《周易》是一部由思维决策的模式与例题结集而成的书。这部书的结构是：一例一卦，说明一种思想，一种方法，每卦有卦名、卦画、卦辞和爻辞。我国古代的数学着作的写作方式，与《周易》极为相似。中国古代数学着作都是由若干例题组成。一书若干题，每题有答案，答案之后是解题方法的“术”，将《周易》的卦与《算经》的题相比，可得下面的对应关系：

易　经　　卦　名　　卦　画　　卦　辞　　爻　辞算　经　　题　名　　题　型　　答　案　　解题术

　　
　　积64卦而成《易经》，积若干例题而成《算经》，这种在结构上的极端相似，不可能只是一种偶然的、形式上的巧合，而是《周易》对中国古代数学影响深远的一种表现。
　　中国古代数学着作不仅形式上模仿《周易》，写作思想和研究方法上也按《周易》思维模式展开。不但在着作中吸收《周易》的思想，还直接用《周易》的言辞来说明道理。如：
　　“探赜索隐，钩深致远”的思想。刘徽在注《九章算术》时比较注意发掘书中未解决和可推广的问题，研究改进前人的算法。
　　“方以类聚，物以群分”的思想。刘徽在注《九章算术》中的原序中说：“事类相推，各有攸归。”说明刘徽在数学研究中善用归类思想，他以齐同术驾驭诸术即为范例。这种归类思想也源于《周易》的“方以类聚，物以群分。”刘徽注中多次运用这些观点：“数同类者无远，数异类者无近。”“以行减行，当各从其类。”“令出入相补，当各从其类”等等。
　　“同归殊途，一致百虑”的思想。刘徽在注中多次使用一题多解的方法，在总结这些不同算法最后得出同一结果时经常以“亦同归耳”为其结论。
　　总之，中国古代数学着作从写作形式到思维方法都在刻意模仿《周易》。
　　　　（三）中国古代数学内容的主线肇源于《周易》
　　《周易》研究的内容是所谓“象、数、理、占”，而中国古代数学的研究也是按象（图象）、数（数据）、理（推理）、占（论断）的模式展开的。以我国最古老的《周髀算经》为例，《周髀算经》开宗明义就写道：
　　“昔者周公问于商高曰：‘窃闻乎大夫善数也。夫天不可阶而升，地不可尺寸而度，请问数从安出？”商高曰：‘数之法出于圆方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所以生也。’”
　　它与《周易》的联系是显而易见的。赵爽在注中写道：“圆径一而周三，方径一而匝四，伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五，政圆方斜径相通之率。故‘数之法出于圆方’。圆方者，天地之形，阴阳之数。然则周公之所问天地也，是以商高陈圆方之形以见其象，因奇偶之数以制其法。所谓言约旨远，微妙幽通矣。”这就是说：商高为了向周公讲述勾股定理，先用圆方之形给出“象”，再分别用圆与方的周长给出“数”，然后说明道理并作出“径隅五”的论断（占）。赵爽还特别强调，这个论断是可以推广到一般的，这里只先陈述其计算的法则（“将以施于万事，而此先呈其率也”）。从《周髀》原文和赵爽的注看，象、数、占都十分明显，只有“理”似乎没有凸现出来。其实这个“理”在商高的对话中已经说得很清楚了。
　　商高是否从理论上证明了普遍意义下的勾股定理呢？让我们重新分析一下商高与周公的那一段对话：“数折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五。是谓积矩。”这里有一个断句的问题。过去人们都把“既方之，外半其一矩环而共盘”破读为：“既方之外，半其一矩，环而共盘。”因而使得商高的话就难以理解，现在我们试将商高的话另作诠释。
　　附图
　　“既方之”，是指把几个直角三角形（矩）合成正方形。商高在下文曾接着指出：“环矩以为圆，合矩以为方。”所以商高知道怎样用直角三角形合成正方形。用几个非等腰的直角三角形（例如勾三股四的直角三角形）合成正方形，至少要用4个直角三角形， 合成的方式只有如图所示的两种。（a）图所示的正是赵爽注《周髀》时所用的弦图， 而商高指的可能是图（b）的形式，“外半”，指图（b）中外围的部分。那是由同一个矩形环绕而生的方形盘（其一矩环而共盘）。于是商高的推理出来了：在图（b）中，整个正方形的面积是（3＋4）[2]＝49，所以，内部的正方形的面积为49－1／2×3×4×4＝25 （两矩共长二十有五），所以其边长即矩之弦为5。
　　把“勾三股四”推广到一般的“勾a股b”的直角三角形上去，证明不需要作任何实质性的修改，依然是内部正方形的面积为（a＋b）[ 2]－1／2ab×4＝a[2]＋b[2]，所以内部正方形的边长即矩的弦长为√a[2]＋b[2]。当一个数学定理的证明从特殊过渡到一般的时候， 如果不需要作实际上的修改，只在同一计算公式中变换数据的话，用特殊情况的证明来代替一般的证明，即使在今天严格意义下的数学证明，也是允许的。因此，商高虽然在论述中只用了“勾三股四”的直角三角形（那只是为了配合天地方圆的需要而特别选定的），但他的论证方法，可以毫无改变地推广到一般，所以说商高已经证明了勾股定理。于是，“理”的脉络也清楚地表现出来了。
　　综上所述，可见中国古代数学着作从思想到方法，从形式到内容，都有追随《周易》的强烈趋向。由于《周易》本身是一种模式化的思想体系，所以使中国古代数学的发展也走上了模式化的道路。
　　　　　　四、成也于斯，败也于斯
　　现在，我们可以回过头来，试着解答关于数学问题的“李约瑟之谜”了。
　　中国的贤哲没有使中国古代数学走上公理化的道路，而走上了模式化的道路，这是不足为怪的。但不可以认为他们泾渭分流，有着不可逾越的鸿沟，存在高低不同的差异。模式化与公理化对数学的发展相辅相成，各有千秋。模式化不是不要逻辑推理，而只是寓理于算，突出算法。演绎推理也不是不要模式。牛顿的《自然哲学的数学原理》用的是公理化，而笛卡儿的《方法论》就没有采用公理化的方法。欧几里得的公理体系，固然有其巨大的优越性，但这种体系并不等于逻辑推理，更不等于“严密”。模式化与公理化在数学发展中的作用也各有千秋，交相为用。一般地说，从实际问题出发开创数学分支，总结数学方法，模式化较为有用；当一门数学分支发展到一定阶段，需要梳理、总结、形成体系以利继续前进的时候，公理化有较大作用。但当一门数学分支走出封闭、高度综合的时候，模式化又能发挥更大的作用。特别是电子计算机问世以后，其作用更为明显。数学的机械化证明，正在方兴未艾，前途无量，也是以模式化为基础的。
　　因此，我们不能简单地认为，中国古代数学是因为没有走上公理化的道路，缺乏演绎推理而导致中国近代数学的落后。那么，是什么原因使得中国古代数学能取得辉煌的成就，而中国近代数学却远远落后于西方呢？作者认为：根本原因是以《周易》思维模式为基础的、在长期封建社会中形成的中国文化传统与中国古代数学模式化方法相结合造成的。因为中国古代数学在《周易》思维模式的影响之下，走上了模式化的道路以后，并没有摆脱《周易》的思维模式，走向自身独立发展的道路，长期为《周易》思维模式所控制、所影响。这种长期的影响与控制，由于在一定的时期内，《周易》思想本身的先进性、合理性，也带动了中国古代数学取得相当的成就，但到后来，就逐渐发展成为阻碍中国古代数学发展的绊脚石了。
　　《周易》思维模式阻碍中国古代数学的发展，表现在以下几个方面：
　　　　（一）“天人合一”的本体哲学
　　中国古代文化一个最显着的特色是“天人合一”的宇宙本体哲学，所有中国古代文化的创造活动都发源于并得力于此种哲学。此一思想即发源于《周易》。《文言》提出了与“天地合德”的思想：“夫大人者，与天地合其德，与日月合其明，与四时合其序，与鬼神合其吉凶。”汉代的董仲舒强调这一思想：“以类合之，天人一也。”又说：“天人之际，合而为一。”到宋代，天人合一思想有进一步的发展。张载明确提出“天人合一”的命题，主张把天之“用”与人之“用”统一起来。程颢更强调“一天人”，他主张“天人本无二，不必言合”。在我国长期的封建社会中总是把社会政治人事问题和自然现象搅在一起，使自然科学的研究受到人事的制约和干扰，阻碍自然科学的发展。我国历史上出现汉代的“罢黜百家，独尊儒术”，元初的抬高“程朱理学”，都曾严重阻碍科学的发展，都与“天人合一”的思想紧密相关。
　　“天人合一”思想容易造成数学家的思维定势，使他们在研究数学问题时，始终跳不出《周易》的思维模式。如宋代理学家朱熹曾从数学的角度研究过“大衍之数”，显示出相当的数学功底。但由于受到《周易》思维模式的影响，始终未能跳出“天地数”、“河洛数”、“天圆地方”等框框，绕来绕去得不到任何要领。最后只好无可奈何地说是“出于理势之自然，而非人之智力所能损益也。”[5]
　　河图洛书只是一种简单的数字排列，杨辉早已阐明其构造方法，并不神秘。但由于《周易》中有“天生神物，圣人则之……”一类的话，到了宋代的理学家们仍在河图、洛书上大做文章。邵雍写道：“盖圆者河图之数，方者洛书之文，故牺文（伏羲与周文王）因之而造易，禹箕（夏禹和箕子）叙之而作范也。”[6] 数学家秦九韶也把数学起源同河图洛书挂钩：“爰自河图洛书，＠②发秘奥；八卦九畴，错综精微，极而至于大衍、皇极之用。”[7]及于明代， 程大位仍然坚持：“数何肇？其肇自图书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴……故今推明直指算法，辄揭河图洛书于首，见数有本原云。”[8]
　　早在三国时代，那位“观阴阳之割裂，总算术之根源”的刘徽就注意到了，阴阳学说虽有其合理因素，对离散数学能起作用，但对连续的量作定量分析就不适用了。刘徽在推算球的体积时就曾经批评过张衡以阴阳附会数学的错误。他写道：“衡说之自然，欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。”[9]并且身体力行， 创造了割圆术的科学方法，祖冲之更把圆周率近似值计算的精确度推到了时代的顶峰。但在一千多年后，程大位仍然认为：’窃尝思之，天地之道，阴阳而已。方圆，天地也。方象法地，静而有质，故可以象数求之；圆象法天，动而无形，故不可以象数求之。”他明知“径一周三”只是约数，其精确值带有小数。他竟然荒唐地认为，整数和小数的接合处，正是“阴阳交错而万物化生”的地方，并据此得出结论，圆周率的小数部分是“上智不能测的。”如果可以用有限逼近无限的话，则“化机有尽而不能生万物矣！”较之刘徽、祖冲之一退千里，重新回到《周髀算经》的时代了。
　　“天人合一”思想的另一个弊病是封建王朝常常把某种思维模式尊为至上，而排斥压制别的模式。因为《周易》思维把自然现象和人事纠合在一起，统治者常常为了人事的需要，提倡尊崇某种模式，并把它推广到自然科学的研究中。要求学术研究为政治服务，要求政治思想与学术思想服从统一的模式。他们希望某种模式能“范围天地之化而不过，曲成万物而不遗。”对于某些本来无法“范围”的事物，也不惜加以“曲成”，以造成“不遗”的假象。他们认为人们的思想要“同归而殊途，一致而百虑”。首先是“同归”、“一致”，在这个前提下，才可以用不同的方式，不同的思考达到目的。“同归”、“一致”是既定的目的，“殊途”、“百虑”只是达到目的的手段。
　　在13世纪下半叶，我国南宋时期数学史上的“四杰”李冶、杨辉、秦九韶、朱世杰曾经把中国古代数学成就推上了时代的高峰，但很快蒙古奴隶主贵族入主中原，建立元朝，统治者出于巩固皇权的需要，把孔子的经学和程朱理学抬到吓人的高度，钦定为“范围天地”的模式，自然科学的研究也必须与之“同归”、“一致”，从而陷入僵死的模式。明代思想家李贽（1527～1602）曾经讽刺这一时期的读书人是“儒先亿度而言之，父师沿袭而诵之，小儿朦胧而听之，万口一词不可破也，千年一律不自知也。”[10]从此我国的科学技术便陷入了悲惨的境地。“四杰”的光辉成就也成为“落日余辉”，很快就进入茫茫长夜了。
　　顺便说一句，这种排斥异端的思维模式也反映在对待外来文化的态度上。西方数学曾多次传入中国而受到抵制。直到19世纪， 李善兰（1811～1882）在翻译《代微积拾级》时，仍将A、B、C、D译成甲、乙、丙、丁；x、y、z译成天、地、人。清代数学史家黄钟骏还认为， 《几何原本》原是中国的冉子所造，后来才“流传海外，西人得之，出其精思，以成此书。[11]不过是将中国人的东西作了一些精巧的加工而已。言之下意，外来的东西都是中国古已有之的，吾人的模式早已“范围天地而不过”，还用得着向外人学习吗！天朝大国的优越感，固步自封的保守性，一至于此，又怎能不影响中国古代数学的发展呢？
　　　　（二）经世致用的功利思想
　　中国古代儒家思想的一大特色是经世致用，这一思想的形成也与《周易》有密切的关系。《系辞上传》说：“备物致用，立成器以为天下利，莫大乎圣人”。故“易有圣人之道四焉：以言者尚其辞，以动者尚其变，以制器者尚其象，以卜筮者尚其占。”在《系辞下传》的第二章中，连续用12个“盖取诸”阐明易卦对人类生产生活的全方位的应用。折衷于《周易》的中国古代数学也以能否直接服务于社会作为研究的立足点。《孙子算经》序言中特别强调，数学是“立规矩、准方圆、谨法度、约尺寸、立权衡、平重轻、剖毫厘、折黍参，历亿载而不朽，施八权而无疆。”这种观点，一直是中国古代数学思想的主流。
　　中国古代数学根据社会需要提出的实际问题建立数学模型，再根据模型找出一种算法解决实际问题。但由于我国漫长的封建社会使社会生产力发展缓慢，新的实践问题提出很少，也缺乏深度，因之为解决它们而研究的算法也发展缓慢，这就阻碍了中国古代数学的进一步发展。
　　例如，在西方获得了一次方程与二次方程的解法后，一方面顺理成章地研究方程的负数解和虚数解，一方面按部就班转向更高次方程的研究，在得到三、四次方程的求根公式之后，又转向五次方程的研究，导致了伽罗华群论的产生，开辟了代数学的新方向。反观中国古代数学，对一次、二次方程早有研究，但却没有人去研究虚数，因为当时的社会还提不出实际的需要。刘徽的《九章算术注》中有的方程已有分数解，但到了贾宪不但未向前推进，反而退回来把同类问题改成只有整数解，连他的师兄弟也批评他“弃去余分，于法未尽”。中国古代数学也未能顺理成章地研究更高次方程，而实际问题又很难引出高次方程。所以，秦九韶不得已而人为地编造一些问题，“拔高”其次数以资研究。《数书九章》中有一道名为“遥度圆城”的问题，本来只要用到三次方程就足够了，而秦九韶在解法中却故意设直径的平方根为未知数，从而导出10次方程。后人对此颇有微词，认为秦是“哗众取宠”，“好高鹜远”。其实，秦九韶这样做也是不得已而为之的，是为了“设为问答以拟于用”而故意“拔高”的。
　　《孙子算经》载有“物不知数”问题，秦九韶从研究“物不知数”问题的一般理论而获得举世闻名的成果“中国剩余定理”，但是为什么秦氏要把它称为“大衍求一术”，说它来源于《周易》呢？恐怕也与经世致用有关。
　　《孙子算经》明显地继承《九章算术》的风格，其中的一些几何问题更接近实际。而这个不联系生产、不联系生活的“物不知数”从何而来，联系到《孙子算经》中有占卜生男生女的问题，一种可能的解释是“物不知数”问题来源于占筮。取一把蓍草，三三数之得一余数，如为奇数则取阳爻，如为偶数则取阴爻；再五五数之又得一爻，七七数之再得一爻，最后便得到一个三爻卦。占卜在古代很盛行，是一种公开的、合法的社会行业，也算得上实际的需要，符合经世致用的原则。谈到占筮，自然以“大衍之数”为其鼻祖。所以，秦九韶称他的成果“微寓于易”，也未可厚非。
　　还必须指出的是：中国古代封建社会的所谓经世致用，主要还是“治国平天下”之类政治上的“用”，至于用于生产的数学，只是一种不能登大雅之堂的应用技术，从来得不到社会的重视，像赵爽、刘徽这些伟大的数学家，连一个生平简历都没有留下，就足以说明这个问题。宋代程朱理学盛行，在理学家看来，数学毫无用处，李＠③曾公开反对国家建立算学馆，他说：“将来建学之后，养士设科，徒有烦费，实于国家无补。”[12]唐朝的最高学府——国子监虽然设有明算科，把数学作为一个专业，但算学博士的官秩才是“从九品下”，算学助教则没有品秩。而国子监的经学博士官秩为正五品上，连助教也是从六品上。[13]两者的地位相差极为悬殊。中国古代数学家为了数学的生存和发展，不得不把自己的数学成果附会为经学的内容，使它和经学一样，得到社会的同等对待。因为在重要的儒家经典中，只有《周易》才能附会数学的内容。这就造成了数学思想受控于《周易》模式的恶性循环。
　　　　（三）述而不作的研究方法
　　中国古代数学以根据实际问题提炼模型，给出算法为己任，因而数学家的研究工作就侧重于两个方面：
　　第一是研究、改进、完善前人的算法，不少数学家竭毕生精力直接为《九章算术》一书作注，自己的着作也以《九章》命名，如《数书九章》、《详解九章算法》等等。
　　第二是根据社会实践提出的新问题归纳建立新的数学模型。新的数学模型如能归于某一已有的类则归于该类补充其内容，不能归于已有类中去的，则增加一个新类。新类仍尽可能与原有的类纳于统一的模型中。
　　这种述而不作的研究方式，束缚了数学家对从数学本身中提出和探索新思想、新理论的努力。虽然对算法的改进也可在一定程度上促进数学的进展，但忽视了对理论的研究，忽视了对各种算法之间内部逻辑联系的研究。
　　更有甚者，由于受《周易》思维模式的影响，还把新的数学内容牵强附会地纳入已有模式，用“曲成”的办法，使原有模式保持“范围天地之化而不过，曲成万物而不遗”的作用。如《数书九章》中增加了“大衍类”，秦九韶明知“大衍法”是一种新数学，“独大衍法不载九章，未有能推之者。”但他仍因受了“述而不作”的影响，称“大衍法”是《周易》中早已有的内容，《九章算术》之不载，只是因为作者疏忽了。“圣有大衍，微寓于《易》，……衍而究之，探隐知原，……其书九章，唯兹弗纪。”为了证明其说，他对《系辞》中“大衍之数”一节所提及的古代筮法作了特殊的解释，由于秦氏深厚的数学功底，居然做到了自圆其说。其实，秦氏对大衍之法的解释与通常的解释比较，除了使用共同的术语外，对术语的解释，分揲的办法，筮数的结果，两者都相去甚远。真极尽“曲成万物”的能事。所以后人对秦的做法颇多微词，认为那是牵强附会的典型。
　　唐代的僧一行编制了一部历法，命名为“大衍历”。历法编算的重点之一是确定年和月的天数，它们都不是整数。《大衍历》取一回归年

　　　 743　　　　　　　　 1613＝365 ───，一朔望月＝29───　　　 3040　　　　　　　　3040

　　
　　。这两个分数值是相当准确的，擅长数学的僧一行肯定是用科学的办法得出这些科学数据的，如他使用了不等间距二次插值法，就是对数学的一大贡献。但是他却使用了《周易》的一些术语，如“五行”、“揲四”、“三才”、“两仪”、“象”、“爻”、“生数”等，硬凑出一套神秘的计算公式来，使之纳入《周易》的模式，而把真正数学的火星掩灭了。
　　综上所述，中国古代数学在《周易》思维的影响下，走上了模式化的道路。模式化本身并不是使中国近代数学落后的原因，相反的，由于《周易》思维模式的某些先进性、合理性，还曾使中国古代数学取得过辉煌的成就。但在继续发展的道路上，因受到“天人合一”的哲学本体、经世致用的功利思想、述而不作的研究方法的影响，使中国古代数学长期受控于《周易》模式，未能走上自身独立发展的道路，才导致中国近代数学的落后。古代数学的成就和近代数学的落后出于同一原因，即《周易》思维模式影响于形成的模式化道路。成也于斯，败也于斯。
周易研究济南86～96B2科学技术哲学欧阳维诚20002000《周易》是一部由思维决策的模式与解释模式的例题结集而成的书。中国数学的发展在《周易》思维模式的影响下也走上了模式化的道路。由于《周易》思维模式在一定时期具有某些先进性、合理性，因而曾使中国古代数学在早期取得过辉煌的成就。但在继续发展的道路上，因长期受控于《周易》模式，未能走上自身独立发展的模式化道路，终于导致中国近代数学的落后。中国古代数学的成就和近代数学的落后出于同一个原因：即由《周易》思维模式产生和长期影响下的模式化道路。成也于斯，败也于斯。它是“李约瑟之谜”在数学科学方面的部分谜底。周易/中国古代数学/模式化/李约瑟之谜欧阳维诚，湖南教育出版社，湖南　长沙410007　　欧阳维诚（1935～），男，湖南宁远人，湖南教育出版社编审，中国数学奥林匹克高级教练，易学专着有《周易新解》、《周易的数学原理》等。 作者：周易研究济南86～96B2科学技术哲学欧阳维诚20002000《周易》是一部由思维决策的模式与解释模式的例题结集而成的书。中国数学的发展在《周易》思维模式的影响下也走上了模式化的道路。由于《周易》思维模式在一定时期具有某些先进性、合理性，因而曾使中国古代数学在早期取得过辉煌的成就。但在继续发展的道路上，因长期受控于《周易》模式，未能走上自身独立发展的模式化道路，终于导致中国近代数学的落后。中国古代数学的成就和近代数学的落后出于同一个原因：即由《周易》思维模式产生和长期影响下的模式化道路。成也于斯，败也于斯。它是“李约瑟之谜”在数学科学方面的部分谜底。周易/中国古代数学/模式化/李约瑟之谜

网载 2013-09-10 20:47:05

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